Перетворення виразів, що містять корені

Можна здійснювати перетворення виразів, використовуючи такі властивості добування кореня \(n\)-го степеня з дійсного числа:

\begin{array}{l} {(\sqrt[n]{a})}^{n} = a \\ \sqrt[n]{a^{n}} = a \\ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (b \neq 0) \\ {(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}} \\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} \\ \sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^{k}} \end{array}

Приклад:

Виконай дії:

(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})

Розв'язання

Застосуємо формулу скороченого множення

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

і формулу

{(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}

\(.\)

(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) = {(\sqrt[4]{x})}^{2} - {(\sqrt[4]{y})}^{2} = \sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[4]{y^{2}}

Тепер скористаємося формулою

\sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^{k}}

і поділимо в кожному з отриманих радикалів показники кореня й підкореневого виразу на \(2.\)

\sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[4]{y^{2}} = \sqrt[4 : 2]{x^{2 : 2}} - \sqrt[4 : 2]{y^{2 : 2}} = \sqrt[2]{x^{1}} - \sqrt[2]{y^{1}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}

Знайшли помилку?

1. Перетворення виразів, що містять корені