Логарифмування — урок. Алгебра, 11 клас.

Рівняння вигляду

2^{x} = 3; x^{\log_{3} x - 2} = 27; x^{\log_{3} x} = 4 x

розв'язуються логарифмуванням обох частин рівняння.

Логарифмування – це перехід від рівняння

f (x) = g (x)

до рівняння

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

Розглянемо на прикладах.

Приклад:

Розв'яжи рівняння

2^{x} = 3

Розв'язок.

Прологарифмуємо обидві частини рівняння з основою \(2\)

\begin{array}{l} \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 3 \\ x \cdot \log_{2} 2 = \log_{2} 3 \end{array}

, оскільки

\log_{a} b^{r} = r \cdot \log_{a} b

\begin{array}{l} x \cdot 1 = \log_{2} 3 \\ x = \log_{2} 3 \end{array}

Відповідь:

x = \log_{2} 3

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

x^{\log_{3} x - 2} = 27

Розв'язок.

ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; + \infty) \end{array}

Прологарифмуємо обидві частини з основою \(3\)

\log_{3} x^{\log_{3} x - 2} = \log_{3} 27

(\log_{3} x - 2) \cdot \log_{3} x = 3

, оскільки

\log_{a} b^{r} = r \cdot \log_{a} b

Нехай

\log_{3} x = t

\begin{array}{l} (t - 2) \cdot t = 3 \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 \end{array}

За теоремою Вієта

\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = 3 \\ t_{2} = - 1 \end{array}

Повернемося до позначеного

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \log_{3} x = 3 \\ x_{1} = 3^{3} = 27 \end{array} & \begin{array}{l} \log_{3} x = - 1 \\ x_{2} = 3^{- 1} = \frac{1}{3} \end{array} \end{array}

Обидва значення належать ОДЗ.

Відповідь:

\frac{1}{3}; 27

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

x^{\log_{2} x} = 4 x

Розв'язок.

ОДЗ:

\{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}

x \in (0; 1) \cup (1; + \infty)

Прологарифмуємо з основою \(2\)

\begin{array}{l} {\log_{2} x}^{\log_{2} x} = \log_{2} 4 x \\ \log_{2} x \cdot \log_{2} x = \log_{2} 4 x \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} 4 x = 0 \\ \log_{2}^{2} x - (\log_{2} 4 + \log_{2} x) = 0 \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - \log_{2} 4 = 0 \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 2 = 0 \end{array}

Позначимо

\log_{2} x = t

, тоді

t^{2} - t - 2 = 0

За теоремою Вієта

\begin{array}{l} \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 1 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 2 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = 2 \\ t_{2} = - 1 \end{array} \\ \log_{2} x = 2 \log_{2} x = - 1 \\ x_{1} = 2^{2} = 4 x_{2} = 2^{- 1} = \frac{1}{2} \end{array}

Обидва значення належать ОДЗ.

Відповідь:

\frac{1}{2}; 4

Попередня теорія

Знайшли помилку?

4. Логарифмування