Потенціювання — урок. Алгебра, 11 клас.

Розв'язання логарифмічних рівнянь типу

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

зводиться до розв'язання рівняння

f (x) = g (x)

Це випливає з монотонності логарифмічної функції.

Потенціювання – це перехід від рівняння вигляду

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

до рівняння

f (x) = g (x)

, де \(a\) - відмінне від одиниці додатне число,

f (x)

g (x)

- елементарні алгебраїчні функції, \(f(x) > 0, g(x) > 0.\)

Для розв'язання даного типу рівнянь досить знайти всі корені рівняння

f (x) = g (x)

і серед отриманих, вибрати ті, що належать ОДЗ рівняння

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

У випадку, якщо рівняння

f (x) = g (x)

коренів не має, тоді їх не має і вихідне логарифмічне рівняння.

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

\log_{5} (x + 1) = \log_{5} (2 x - 3)

Розв'язок.

Знаходимо ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2 x - 3 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ 2 x > 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > 1,5 \end{cases} \\ \Rightarrow x \in (1,5; + \infty) \end{array}

Розв'язуємо рівняння

\begin{array}{l} x + 1 = 2 x - 3 \\ x - 2 x = - 3 - 1 \\ - x = - 4 \end{array}

\(x=4\) належить інтервалу

x \in (1,5; + \infty)

отже, є коренем вихідного логарифмічного рівняння.
Відповідь: \(x=4\)

Приклад:

Розв'яжи рівняння

\log_{0,7} (x + 4) + \log_{0,7} (2x + 3) = \log_{0,7} (1 - 2 x)

Розв'язок.

ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \\ 1 - 2 x > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 4 \\ 2 x > - 3 \\ - 2 x > - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 4 \\ x > - 1,5 \\ x < 0,5 \end{cases} \\ \Rightarrow x \in (- 1,5; 0,5) \end{array}

\begin{array}{l} \log_{0,7} (x + 4) (2 x + 3) = \log_{0,7} (1 - 2 x) \\ (x + 4) (2 x + 3) = 1 - 2 x \\ 2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 1 - 2 x \\ 2 x^{2} + 13 x + 11 = 0 \\ x_{1} = - 1, x_{2} = - 5,5 \\ x_{1} = - 1 \in ОДЗ \\ x_{2} = - 5,5 \notin ОДЗ \end{array}

отже, \(-5,5\) не є коренем вихідного рівняння.
Відповідь: \(x = - 1\)

Знайшли помилку?

2. Потенціювання