Якщо поставлено задачу знайти такі пари значень \((x; y),\) які одночасно задовольняють рівняння \(p\) \((x;y)=0\) і рівняння \(q\) \((x; y)=0,\) то кажуть, що дані рівняння утворюють систему рівнянь:
Пара значень \((x; y),\) яка одночасно є розв'язком і першого, і другого рівнянь системи, називається розв'язком системи рівнянь.
Розв'язати систему рівнянь — означає знайти всі її розв'язки або встановити, що розв'язків немає.
Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв'язки або якщо обидві системи не мають розв'язків.
\(1)\) підстановки;
\(2)\) алгебраїчного додавання;
\(3)\) введення нових змінних;
\(4)\) графічний.
Приклад:
Розв'яжи систему рівнянь:
У ході розв'язання замість \(y\) підставили вираз \(3x-1,\) отриманий із першого рівняння.
Введемо в другому рівнянні нову змінну:
Розв'язуючи друге рівняння зі змінною \(t,\) отримаємо:
Повертаючись до введеного позначення \(t,\) розв'яжемо отримані рівняння і знайдемо \(x\)\(:\)
Знайдемо \(y,\) підставляючи замість \(x=0.\)
Отримаємо, що \(y=-1.\)
Розв'язок системи — пара чисел \((0; -1).\)
У ході розв'язання були використані два методи: підстановки і введення нової змінної.
Приклад:
Для визначення розв'язання системи потрібно використати методи алгебраїчного додавання і підстановки.