Скорочення дробів із радикалами (за аналогією скорочення звичайних та раціональних дробів) полягає у знаходженні спільного множника (числового або виразу з коренем) для чисельника і знаменника та діленні їх на цей спільний множник.
Основні методи включають розкладання на множники способами:
- винесення спільного множника за дужки;
- групування;
- застосування формул скороченого множення.
Приклад:
Скоротіть дріб \(\dfrac{a^2-7}{a-\sqrt{7}}.\)
Розв’язання
Ураховуючи, що \(7=\left(\sqrt{7}\right)^2,\) чисельник дробу подамо у вигляді різниці квадратів.
Отримаємо:
\(\dfrac{a^2-7}{a-\sqrt{7}}=\dfrac{a^2-\left(\sqrt{7}\right)^2}{a-\sqrt{7}}=\dfrac{\left(a-\sqrt{7}\right)\left(a+\sqrt{7}\right)}{a-\sqrt{7}}=a+\sqrt{7}.\)
Відповідь: \(a+\sqrt{7}.\)
Приклад:
Скоротіть дріб \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{3-\sqrt{3}}.\)
Розв’язання
Ураховуючи, що \(\sqrt{6}=\sqrt{2}·\sqrt{3},\) а \(3=\left(\sqrt{3}\right)^2,\) у чисельнику й знаменнику винесемо за дужки спільний множник.
Отримаємо:
\(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{3-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}\right)^2-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}.\)
Відповідь: \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}.\)