Приклад:
Перегін у \(60\) км поїзд мав проїхати з постійною швидкістю за визначений розкладом час. Простояв біля семафора перед перегоном \(5\) хв, машиніст був змушений збільшити швидкість проходження перегону на \(10\) км/год, щоб надолужити до закінчення проходження перегону втрачені \(5\) хв. З якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?
Перший етап. Складання математичної моделі.
Нехай \(x\) км/год — швидкість поїзда за розкладом.
Оскільки протяжність перегону дорівнює \(60\) км, то час, відведений розкладом на проходження перегону, становить год.
Фактично поїзд пройшов перегін у \(60\) км зі швидкістю \((x + 10)\) км/год, отже, час, витрачений на проходження перегону, дорівнює год.
Із двох величин — год і год перша більше другої на \(5\) хв, тобто на год.
Отже, ми приходимо до рівняння: .
Математична модель задачі складена. Це раціональне рівняння.
Другий етап. Робота зі складеної моделлю.
Маємо .
Перетворимо ліву частину рівняння:
.
Прирівняв чисельник цього дробу до нуля, отримаємо квадратне рівняння або, переходячи до більш зручного запису, .
Застосувава відому формулу, знаходимо:
.
Обидва значення задовольняють умові , отже, ці значення — корені складеного раціонального рівняння.
Третій етап. Відповідь на питання задачі.
Питається, з якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?
Саме цю величину ми позначили буквою \(x\). Отримали, що або \(x = 80\), або \(x = -90\). Друге значення нас не влаштовує, оскільки швидкість руху поїзда не може виражатися негативним числом. Отже, вибираємо значення \(x = 80\), це і є відповідь на питання задачі.
Відповідь: \(80\) км/год.
Зробимо деякі коментарі до виконаного розв'язання.
1. Звичайно, розглянута ситуація дещо ідеалізована: навряд чи в реальному житті поїзд пройде весь перегін із постійною швидкістю, адже завжди є і прискорення, і уповільнення. Але на таку ідеалізацію математикам доводиться йти свідомо.
2. У черговий раз звертаю твою увагу на те, що ми скористалися звичною схемою міркувань: складання математичної моделі, робота зі складеною моделлю, відповідь на питання завдання.
3. Підкреслимо, що перший етап, тобто складання математичної моделі — ключовий у розв'язанні завдання. На цьому етапі здійснюється переклад умови задачі з буденної мови на математичну мову, тобто виконується серйозна творча робота. Така ж робота проводиться і на другому етапі, але це не творча, а чисто технічна робота, оскільки, діємо за алгоритмом.
Повернемося до розглянутої задачі та проаналізуємо, як здійснюється переклад з буденної мови на математичну.
Шукану величину ми позначили буквою \(x\). Це дало нам можливість оперувати з шуканою швидкістю, адже з точки зору алгебри байдуже, чи маємо ми справу з числами або з буквами.
Знаючи шлях \((60\) \(км)\) і швидкість (\(x\) км/год) і використав фізичний закон рівномірного руху\(s = vt\) (\(s\) — шлях, \(v\) — швидкість, \(t\) — час), ми знайшли час, передбачений розкладом, він виражається дробом год.
За умовою, перегін був пройдений зі швидкістю, на \(10\) км/год більше, ніж передбачалося розкладом. Переклад цієї умови на математичну мову дав таке: \((x + 10)\) км/год — фактична швидкість проходження перегону, а год — фактичний час руху поїзда по перегону у \(60\) км.
Далі, згідно з умовою, на даному перегоні поїзд виграв, порівняно з розкладом, \(5\) хв, тобто год.
Іншими словами, час, передбачений розкладом ( год ), більше фактичного часу ( год ) на год.
Математичною мовою це означає, що (з більшої величини відняли меншу і отримали зазначену в умови різницю).
Зверни увагу!
Порівнювати треба величини одного і того ж найменування (в даному рівнянні — це години).