Метод введення нової змінної тобі вже відомий, адже ми не раз ним користувалися.
Зараз покажемо на прикладах, як він застосовується під час розв'язання раціональних рівнянь.
Приклад:
Розв'яжи рівняння:
Введемо нову змінну . Оскільки , то подане рівняння можна записати у вигляді .
Це квадратне рівняння. Знайдемо корені рівняння:
Але , отже, завдання звелося до розв'язання двох рівнянь:
З першого рівняння знаходимо , друге рівняння не має коренів.
Відповідь:
Рівняння вигляду називається біквадратним рівнянням («бі» — два, тобто ніби «двічі квадратне» рівняння).
Щойно розв'язане рівняння було саме біквадратним.
Будь-яке біквадратне рівняння розв'язується так само, як рівняння з вищенаведеного прикладу: вводять нову змінну , розв'язують отримане квадратне рівняння щодо змінної \(y\), а потім повертаються до змінної \(x\).
У розгляненому прикладі метод введення нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, тобто добре їй відповідав.
Чому? Тому що один і той же вираз зустрічався в записі рівняння декілька разів. Отже, був сенс позначити цей вираз новою буквою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «проявляється» лише в процесі перетворень. Саме такий варіант розглядається в наступному прикладі.
Приклад:
Розв'яжи рівняння:
Маємо:
Отже, подане рівняння можна записати у вигляді .
Ось тепер нова змінна «проявилася»:
З її допомогою рівняння можна записати у такому вигляді:
Коренями цього рівняння є числа \(4\) та \(-6\).
Повертаючись до початкової змінної \(x\), отримуємо два рівняння:
З першого рівняння знаходимо ; друге рівняння не має коренів.
Відповідь: