Факторіал — урок. Алгебра, 9 клас НУШ.

Використовуючи закон множення, часто потрібно обчислити добутки натуральних чисел по черзі, починаючи з \(1\).
Наприклад,

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7

і т. д. Не завжди важливо обчислити числовий добуток. Щоб можна було коротше записати вирази такого виду, в математиці використовується знак "\(!\)".

Добуток всіх натуральних чисел від 1 до \(n\) називається факторіалом числа n і записується

n!

(читається, як "ен факторіал»).

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n

Прийнято, що \(0! = 1\)

1! = 1

2! = 2 \cdot 1 = 2

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Приклад:

1. Обчисли значення виразу.

5! + 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 + 24 = 144

\frac{7! - 5!}{4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! - 5 \cdot 4!}{4!} = \frac{5 \cdot 4! (42 - 1)}{4!} = 5 \cdot 41 = 205

(\(4!\) виноситься за дужки. У дробу рівні факторіали можна скорочувати.)

\frac{80!}{79!} + \frac{59!}{58!} = \frac{80 \cdot 79!}{79!} + \frac{59 \cdot 58!}{58!} = 80 + 59 = 139

Кожен більший факторіал можна виразити меншим факторіалом, тобто,
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) і т.д.

Приклад:

2. Скороти дріб.

\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = \frac{(n + 1) n (n - 1)!}{(n - 1)!} = (n + 1) n

3. Спрости вираз.

\frac{n + 2}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n!} = \frac{n + 2^{\ n}}{(n - 1)!} - \frac{2 n + 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} + 2 n - 2 n - 3}{n (n - 1)!} = \frac{n^{2} - 3}{n!}

При збільшенні значення \(n\), значення \(n!\) стрімко зростає. Знак факторіала зручно використовувати, якщо потрібно записувати великі числа.

Приклад:

Скількома різними способами можна скласти список учнів, якщо в ньому має бути \(25\) різних учнів?

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 24 \cdot 25 = 25!

Відповідь: Список можна скласти \(25!\) Різними способами.

Знайшли помилку?

2. Факторіал