Формули подвійного аргументу (базовий рівень)

Формули подвійного аргументу дозволяють представити тригонометричну функцію подвоєного аргументу у вигляді виразу тригонометричних функцій простого (одинарного) аргументу.

Ці формули встановлюють співвідношення між \(sin\) \(2x\), \(cos\) \(2x\), \(tg\) \(2x\) і \(sin\) \(x\), \(cos\) \(x\), \(tg\) \(x\).

Послідовно приведемо і доведемо формули подвійного аргументу для функцій синуса, косинуса і тангенса.

1. Розглянемо вираз \(sin\) \(2x\) - представимо його аргумент у вигляді \(2 x=x+x\) і скористаємося відомою формулою синуса суми аргументів:

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β

Тоді отримаємо:

\sin 2 x = \sin (x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x

Отже,

формула синуса подвійного аргументу:

\sin 2 x = 2 \sin x \cdot \cos x

2. Розглянемо вираз \(cos\) \(2x\) і аналогічно представимо його аргумент у вигляді \(2 x = x +x\), а також скористаємося відомою формулою косинуса суми аргументів:

\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β

Тоді отримаємо:

\cos 2 x = \cos (x + x) = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Отже,

формула косинуса подвійного аргументу:

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

3. Тепер розглянемо вираз \(tg\) \(2x\) і знову представимо його аргумент у вигляді \(2 x=x+x\), що дасть можливість скористатися відомою формулою тангенса суми аргументів:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

Тоді отримаємо:

tg 2 x = tg (x + x) = \frac{tg x + tg x}{1 - tg x \cdot tg x} = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}

формула тангенса подвійного аргументу:

tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}

Зверни увагу!

Формули синуса подвійного аргументу і косинуса подвійного аргументу справедливі для будь-яких значень аргументу (ніяких обмежень немає), тоді, як формула тангенса подвійного аргументу справедлива лише для тих значень аргументу \(x\), для яких визначені функції \(tg\) \(x\) і \(tg\) \(2x\), а також відмінний від нуля знаменник дробу, тобто

1 - {tg}^{2} x \neq 0

Це рівнозначно одночасному виконанню умов:

x \neq \frac{π}{2} + π k, k \in ℤ

x \neq \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ

Зрозуміло, всі отримані формули можна застосувати й у тих випадках, коли місце аргументу \(x\) займає більш складний вираз, наприклад, справедливі наступні співвідношення:

\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x

\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}

- до речі, цю формулу іноді називають формулою \(половинного\) \(аргументу\)

\cos 48 ° = \cos^{2} 24 ° - \sin^{2} 24 °

\cos (2 x + 6 y) = {\cos 2 (x + 3 y) = \cos}^{2} (x + 3 y) - \sin^{2} (x + 3 y)

tg (\frac{2 π}{3} - 2 t) = tg (2 (\frac{π}{3} - t)) = \frac{2 tg (\frac{π}{3} - t)}{1 - {tg}^{2} (\frac{π}{3} - t)}

і т.п.

Будь-яку з отриманих формул подвійного аргументу можна використовувати, як зліва направо, так і справа наліво (згортати) для розв'язання \(тригонометричних\) \(виразів\).

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Формули подвійного аргументу (базовий рівень)

Теорія: