1. Перетворення виразу A sin x+ B cos x до вигляду C sin (x+t)

 

На практиці, наприклад при вивченні коливань, досить часто зустрічаються вирази вигляду $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$, причому виникає необхідність звести цю суму до однієї тригонометричної функції.

 

Розглянемо для прикладу вираз $\sqrt{3}\mathit{sin}x+\mathit{cos}x$. Якщо переписати заданий вираз у вигляді $2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{sin}x+\frac{1}{2}\mathit{cos}x\right)$ і врахувати, що $\frac{\sqrt{3}}{2}=\mathit{cos}\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{1}{2}=\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{6}$, тоді можна помітити, що вираз в дужках являє собою праву частину формули "синус суми" для аргументів \(x\) і $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

Таким чином, $2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{sin}x+\frac{1}{2}\mathit{cos}x\right)=2\cdot \left(\mathit{cos}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\mathit{sin}x+\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\mathit{cos}x\right)=2\mathit{sin}\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

Отже, $\sqrt{3}\mathit{sin}x+\mathit{cos}x=2\mathit{sin}\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

 

Вираз вигляду $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$ (для випадку, коли $A=\sqrt{3},B=1$) ми перетворили до вигляду $C\cdot \mathit{sin}(x+t)$.

Точніше, у нас вийшло, що \(C=2\), $t=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

 

Виявляється, це невипадково — на подібній ідеї засноване перетворення будь-якого виразу $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$.

 

Введемо позначення: $C=\sqrt{A^2+B^2}$. Зауважимо, що ${\left(\frac{A}{C}\right)}^2+{\left(\frac{B}{C}\right)}^2=1$.

Насправді, ${\left(\frac{A}{C}\right)}^2+{\left(\frac{B}{C}\right)}^2=\frac{A^2}{C^2}+\frac{B^2}{C^2}=\frac{A^2+B^2}{C^2}=\frac{C^2}{C^2}=1$.

 

Це означає, що пара чисел - $\frac{A}{C}$, $\frac{B}{C}$ задовольняє рівняння $x^2+y^2=1$, тобто точка з координатами $\left(\frac{A}{C};\frac{B}{C}\right)$ лежить на числовому колі. Але тоді $\frac{A}{C}$ є косинус, а $\frac{B}{C}$ - синус деякого аргументу \(t\), тобто $\frac{A}{C}=\mathit{cos}t,\frac{B}{C}=\mathit{sin}t$.

 

Враховуючи все це, попрацюємо з виразом $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$:

$A\cdot \mathit{sin}x+ B\cdot \mathit{cos}x=C\cdot \left(\frac{A}{C}\mathit{sin}x+\frac{B}{C}\mathit{cos}x\right)=C\left(\mathit{cos}t\cdot \mathit{sin}x+\mathit{sin}t\cdot \mathit{cos}x\right)=C\cdot \mathit{sin}\left(x+t\right)$.