Формули тангенса суми і різниці аргументів

Одними з основних і найбільш часто використовуваних формул перетворення тригонометричних виразів є формули тангенса суми і різниці аргументів.
Вони встановлюють співвідношення між тангенсом загальної суми або різниці аргументів і тангенсами окремих аргументів - доданків.

При всіх допустимих значеннях аргументів справедливі формули:

тангенса суми аргументів:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

(1)

тангенса різниці аргументів:

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

(2)

Обмовка про допустимі значеннях аргументів означає, що всі тангенси мають зміст, тобто виконуються умови:

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

α + β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

для формули (1),

α - β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

для формули (2),

Ці формули дуже важливі і широко застосовуються не лише в математиці, але і у фізиці - особливо, в радіотехніці.

Виведення формул природним чином виходить з визначення функції тангенс і використання вже відомих формул синуса і косинуса суми і різниці аргументів.

Доведемо формулу тангенса суми аргументів. Маємо:

tg (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}

Поділимо кожний з доданків чисельника і знаменника на

\cos α \cdot \cos β

враховуючи, що значення дробу від цього не зміниться і, що

\cos α \cdot \cos β \neq 0

з прийнятих вище умов для допустимих значень аргументів, тобто

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

. Тоді:

tg (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

що і треба було довести.

Аналогічно доводиться формула тангенса різниці аргументів:

tg (α - β) = \frac{\sin (α - β)}{\cos (α - β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Формули тангенса суми і різниці аргументів

Теорія: