4. Диференціювання функції. Диференціювання оберненої функції.

Нехай функція \(u=g(x)\) визначена на множині \(X\) і \(U\) - область її значень.
Нехай, далі, функція \(y=f(u)\) визначена на множині \(U\).
Поставимо у відповідність кожному \(x\) із \(X\) число \(f(g(x))\).
Тим самим на множині \(X\) буде задана функція \(y=f(g(x))\).
Її називають композицією функцій або складною функцією.

Якщо відома похідна функції \(f(x)\), тоді похідну складної функції \(f(u)\) можна обчислити за допомогою наступної формули:

(f (u))' = f' (u) \cdot u'

Приклад:

1) Обчислити похідну функції

{(x + 2)}^{10}

. Позначимо

u = x + 2

Оскільки

(x^{10})' = 10 x^{9}

, тоді

({(x + 2)}^{10})' = (u^{10})' = 10 u^{9} \cdot u' = 10 {(x + 2)}^{9} \cdot 1 = 10 {(x + 2)}^{9}

2) Обчислити похідну функції

f (x) = \sin (\cos x)

. Позначимо

u = \cos x

(\sin x)' = \cos x

, тому

\begin{array}{l} (\sin (\cos x))' = (\sin u)' = \cos u \cdot u' = \\ = \cos (\cos x) \cdot (\cos x)' = \\ = \cos (\cos x) \cdot (- \sin x) = \\ = - \cos (\cos x) \cdot \sin x \end{array}

3) Обчислити похідну функції

\ln \cos x^{2}

. Позначимо

u = \cos x^{2}

(\ln x)' = \frac{1}{x}

, тому

(\ln \cos x^{2})' = (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{u'}{u} = \frac{(\cos x^{2})'}{\cos x^{2}}

Таким же чином обчислимо похідну функції

\cos x^{2}

. Знову позначимо

u = x^{2}

(\cos x^{2})' = (\cos u)' = - \sin u \cdot u' = - \sin x^{2} \cdot (x^{2})' = - 2 x \sin x^{2}

Далі, вставивши отриманий вираз, виходить

(\ln \cos x^{2})' = \frac{- 2 x \sin x^{2}}{\cos x^{2}} = - 2 x tg x^{2}

Використовуючи правило диференціювання складної функції, можна обґрунтувати правило диференціювання оберненої функції.

Знаючи похідну функції \(y=f(x)\), можна похідну зворотної функції \(x=g(y)\) знайти за формулою:

{x_{y}^{}}^{'} = \frac{1}{{y_{x}^{}}^{'}}

(зрозуміло, за умови, що

f^{'} (x) \neq 0

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

4. Диференціювання функції. Диференціювання оберненої функції.

Теорія: