3. Метод заміни змінної в інтегруванні

У багатьох випадках при обчисленні невизначеного інтеграла можна використовувати заміну змінної і наступну залежність:

Якщо

x = f (t)

\(,\) то

dx = f' (t) dt

Так само, якщо в залежності поміняти місцями \(x\) і \(t.\)

Якщо

t = f (x)

\(,\) то

dt = f' (x) dx

\(.\)

Приклад:

\(1.\)

\int \frac{dx}{{(x - 2)}^{5}} = [\begin{array}{l} x - 2 = t \\ x = t + 2 \\ dx = (t + 2)' dt = dt \end{array}] = \int \frac{dt}{t^{5}} = - \frac{1}{4 t^{4}} + C = - \frac{1}{4 {(x - 2)}^{4}} + C

\(2.\)

\int \frac{x^{2} dx}{x^{3} + 13} = [\begin{array}{l} t = x^{3} + 13 \\ x^{2} dx = \frac{(x^{3} + 13)' dx}{3} = \frac{dt}{3} \end{array}] = \int \frac{dt}{3 t} = \frac{\ln |t|}{3} + C = \frac{\ln |x^{3} + 13|}{3} + C

\(3.\)

\int \sin^{5} x \cos x dx = [\begin{array}{l} t = \sin x \\ dt = (\sin x)' dx = \cos x dx \end{array}] = \int t^{5} dt = \frac{t^{6}}{6} + C = \frac{\sin^{6} x}{6} + C

Знайшли помилку?