Метод інтегрування частинами — урок. Алгебра, 11 клас.

Формула інтегрування частинами така:

Якщо дано функції \(u(x)\) і \(v(x),\) то

\int u dv = uv - \int v du

\(.\)

Із формули знаходження похідної добутку

(uv)' = u' v + uv'

випливає, що

uv' = (uv)' - u' v

\(.\) Інтегруючи останню рівність, виходить формула інтегрування частинами.

За допомогою даного перетворення намагаються отримати більш легкий в інтегруванні підінтегральний вираз.

Приклад:

\(1.\)

\begin{array}{l} \int x e^{x} dx = [\begin{array}{l} u = x & du = dx \\ dv = e^{x} dx & v = e^{x} \end{array}] = \int u dv = \\ = uv - \int v du = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C \end{array}

\(2.\)

\begin{array}{l} \int \ln x dx = [\begin{array}{l} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{array}] = \int u dv = \\ = uv - \int v du = \ln x \cdot x - \int (x \cdot \frac{1}{x}) dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C \end{array}

\(3.\)

\begin{array}{l} \int x \cos x dx = [\begin{array}{l} u = x & du = dx \\ dv = \cos x dx & v = \sin x \end{array}] = \int u dv = uv - \int v du = \\ = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x - (- \cos x + C) = x \sin x + \cos x + C \end{array}

Знайшли помилку?

4. Метод інтегрування частинами