Метод введення нової змінної — урок. Алгебра, 11 клас.

Метод введення нової змінної (заміна змінних)

Цей спосіб застосовується в більш складних прикладах. Він полягає в наступному.

Показникове рівняння можна розв'язати, увівши нове позначення. Після підстановки у початкове рівняння нового позначення, отримаємо нове, більш просте рівняння, розв'язавши яке, повертаємося до підстановки і знаходимо корені початкового рівняння.

Розглянемо спосіб підстановки на прикладах.

Приклад:

1. Розв'язати рівняння:

9^{x} - 4 \cdot 3^{x} - 45 = 0

Заміною

3^{x} = t

дане рівняння зводиться до квадратного рівняння

t^{2} - 4 t - 45 = 0

Розв'язуючи це рівняння, знаходимо його корені:

t_{1} = 9, t_{2} = - 5

, звідки

3^{x} = 9, 3^{x} = - 5

Рівняння

3^{x} = 9

має корінь

x = 2

, а рівняння

3^{x} = - 5

не має коренів, оскільки показникова функція не може приймати від'ємні значення. Отже,

x = 2 .

Приклад:

2. Розв'язати рівняння: $4^{x} + 2^{x + 1} - 24 = 0$ .

Помічаємо, що $4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = {(2^{x})}^{2}$ , а $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ .

Перепишемо задане рівняння у вигляді: ${(2^{x})}^{2} + 2 \cdot 2^{x} - 24 = 0$ .

Введемо нову змінну

y = 2^{x}

; тоді рівняння прийме вигляд

y^{2} + 2 y - 24 = 0

Розв'язавши квадратне рівняння відносно $y$ , знаходимо: $y_{1} = 4, y_{2} = - 6$ .

Але $y = 2^{x}$ , отже, нам залишається розв'язати два рівняння: $2^{x} = 4; 2^{x} = - 6$ .

З першого рівняння знаходимо $x = 2$ , а друге рівняння не має коренів, оскільки при будь-яких значеннях $x$ , виконується нерівність $2^{x} > 0$ .

Відповідь: $2$ .

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

4. Метод введення нової змінної

Теорія: