Поняття множини є одним з основних понять математики. Так що ж таке множина?
Ми часто говоримо: зграя птахів, стадо овець, рій бджіл, косяк риб, букет квітів, набір олівців, колектив учнів, компанія друзів, зібрання творів, колекція монет тощо.
Якщо ж в цих парах перемішати перші слова, то може вийти смішно: букет риб, косяк олівців, колекція друзів, стадо монет.
Однак у математиці є термін, яким можна замінити будь-яке з перших слів у наведених парах. Це термін множина.
Під поняттям множини будемо розуміти сукупність об’єктів, що мають спільну природу (або об’єднаних за спільною ознакою), самі об’єкти при цьому будемо називати елементами множини.
Окремим найважливішим множинам присвоєно загальноприйняті назви та позначення:
- множина точок площини — геометрична фігура;
- множина точок, які мають задану властивість, — геометричне місце точок (ГМТ);
- множина значень аргументу функції \(f\) — область визначення функції \(f\), яку позначають \(D(f)\);
- множина значень функції \(f\) — область значень функції \(f\), яку позначають \(E(f)\).
Зазвичай множини позначають великими латинськими літерами.
Якщо, наприклад, множина \(A\) складається із чисел \(1\), \(2\), \(3\), а множина \(B\) — зі знаків \(@\) і \(*\), то це записують так: \(A = \{1; 2; 3\}\), \(B = \{@; *\}\). Числа \(1\), \(2\), \(3\) — елементи множини \(A\), а знаки \(@\) і \(*\) — елементи множини \(B\).
Той факт, що число \(1\) належить множині \(A\), записують за допомогою вже відомого нам символа \(\in\), а саме: \(1\in{A}\).
Той факт, що число \(1\) не належить множині \(B\), записують так: \(1\notin{B}\).
Множини, кількість елементів яких можна подати натуральним числом, називають скінченними.
Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множиною. Її позначають символом \(\varnothing\).
Так, наприклад, порожньою множиною є множина коренів рівняння \(|x|=-7\) . Це можна записати
так: \(x\in{\varnothing}.\)
так: \(x\in{\varnothing}.\)
Множини, кількість елементів яких не можна подати натуральним числом і які не є порожніми, називають нескінченними.
Дві множини \(A\) і \(B\) називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини \(A\) належить множині \(B\) і, навпаки, кожний елемент множини \(B\) належить множині \(A\).
Якщо множини \(A\) і \(B\) рівні, то пишуть: \(A=B.\)
З означення випливає, що множина однозначно визначається своїми елементами. Якщо множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, в якому виписано її елементи, не має значення.
Так, множину, яка складається з трьох елементів \(a\), \(b\), \(c\) можна записати шістьома різними способами:
\(\{a,b,c\}\), \(\{a,c,b\}\), \(\{b,a,c\}\), \(\{b,c,a\}\), \(\{c,a,b\}\), \(\{c,b,a\}\).
Оскільки з означення рівних множин випливає, що, наприклад, \(\{a,b,c\}=\{a,a,c,b\}\), то надалі розглядатимемо множини, які складаються з різних елементів. Так, множина букв слова «морозиво» має вид \(\{\textsf{м,о,р,з,и,в}\}\).