Використовуючи властивості множення і ділення квадратних коренів, можна виконувати арифметичні дії з виразами, що містять квадратні корені.
Наприклад:
1) \(5\sqrt{3}·7\sqrt{2}=35\sqrt{6};\)
2) \(7\sqrt{a}·\left(-3\sqrt{6}\right)=-21\sqrt{6a};\)
3) \(8\sqrt{18}:4\sqrt{2}=\dfrac{8\sqrt{18}}{4\sqrt{2}}=\dfrac{8\sqrt{9}·\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{9}=2·3=6;\)
4) \(7\sqrt{x}:\left(-2\sqrt{x}\right)=-\dfrac{7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=-\dfrac{7}{2}=-3\dfrac{1}{2}.\)
Використовуючи тотожність \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a,\) де \(a\geqslant{0},\) ірраціональні вирази можна підносити до степеня.
Наприклад:
1) \(\left(-5\sqrt{2}\right)^2=\left(-5\right)^2·\left(\sqrt{2}\right)^2=25·2=50;\)
2) \(\left(\sqrt{a}\right)^3=\left(\sqrt{a}\right)^2\sqrt{a}=a\sqrt{2}.\)
Розглянемо, коли квадратні корені можна додавати.
Приклад:
Спрости вираз \(5\sqrt{2}+3\sqrt{2}.\)
Розв’язання
Доданки містять спільний множник \(\sqrt{2}.\) Винесемо його за дужки та виконаємо дію в дужках.
Отримаємо: \(5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(5+3\right)=8\sqrt{2}.\)
Зазвичай розв’язання записують коротше: \(5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}.\)
Відповідь: \(8\sqrt{2}.\)
Вирази \(5\sqrt{2}\) і \(3\sqrt{2}\) у цьому прикладі називають подібними радикалами (за аналогією до подібних доданків) і додають за правилом зведення подібних доданків.
Приклад:
Спрости вираз \(\sqrt{12a}+\sqrt{48a}-\sqrt{27a}.\)
Розв’язання
У кожному з доданків винесемо множник з-під знака кореня. Отримаємо суму подібних радикалів:
\(\sqrt{12a}+\sqrt{48a}-\sqrt{27a}=\sqrt{4·3a}+\sqrt{16·3a}-\sqrt{9·3a}=2\sqrt{3a}+4\sqrt{3a}-3\sqrt{3a}=3\sqrt{3a}.\)
Відповідь: \(3\sqrt{3a}.\)
Приклад:
Спрости вираз \(\left(\sqrt{7}+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}-2\sqrt{3}\right).\)
Розв’язання
Застосуємо формулу скороченого множення — різниці квадратів.
Отримаємо:
\(\left(\sqrt{7}+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}-2\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{7}\right)^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2=7-4·3=7-12=-5.\)
Відповідь: \(-5.\)
Приклад:
Спрости вираз \(\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{15}.\)
Розв’язання
Застосуємо формулу скороченого множення — квадрата різниці.
Отримаємо:
\(\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{15}=\left(\left(2\sqrt{5}\right)^2-2·2\sqrt{5}·\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2\right)+\sqrt{15}=\)
\(=4·5-4\sqrt{15}+3+\sqrt{15}=23-3\sqrt{15}.\)
Відповідь: \(23-3\sqrt{15}.\)