Скористаємося теоремою про корінь з добутку для перетворення виразу, наприклад, \(\sqrt{20}\).
Отримаємо: \(\sqrt{20}= \sqrt{4·5}=\sqrt{4}·\sqrt{5}=\sqrt{2^2}·\sqrt{5}=2\sqrt{5}.\)
Кажуть, що множник винесли з-під знака кореня.
У цьому разі з-під знака кореня ми винесли множник \(2.\)
Приклад:
Винеси множник з-під знака кореня у виразі \(\sqrt{x^{15}}.\)
Розв’язання
Подамо вираз \(x^{15}\) у вигляді добутку \(x^{14}·x,\) у якому \(x^{14}\) є степенем з парним показником.
Тоді маємо:
\(\sqrt{x^{15}}=\sqrt{x^{14}·x}=\sqrt{x^{14}}·\sqrt{x}=\sqrt{\left(x^7\right)^2}·\sqrt{x}=\left|x^7\right|\sqrt{x}.\)
Вираз \(\sqrt{x^{15}}\) має зміст, якщо \(x\geqslant{0},\) оскільки якщо \(x<0,\) то й \(x^{15}<0.\)
Оскільки \(x\geqslant{0},\) то \(x^7\geqslant{0}.\)
Тому \(\left|x^7\right|=x^7.\)
Отже, \(\sqrt{x^{15}}=x^7\sqrt{x}.\)
Відповідь: \(x^7\sqrt{x}.\)