Розглянемо приклад.
Приклад:
Перетвори дріб \(\dfrac{a}{\sqrt{5}}\) так, щоб він не містив кореня в знаменнику.
Розв’язання
Ураховуючи, що \(\left(\sqrt{5}\right)^2=5,\) достатньо чисельник і знаменник дробу помножити на \(\sqrt{5}.\)
Отримаємо:
\(\dfrac{a}{\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}.\)
Відповідь: \(\dfrac{a\sqrt{5}}{5}.\)
У такому разі кажуть, що ми звільнилися від ірраціональності (або позбулися ірраціональності) в знаменнику дробу.
Приклад:
Звільнись від ірраціональності в знаменнику дробу \(\dfrac{2}{\sqrt{7}-1}.\)
Розв’язання
Помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз \(\sqrt{7}+1,\) щоб у знаменнику отримати вираз, до якого можна застосувати формулу скороченого множення — добуток різниці двох виразів на їх суму:
\(\dfrac{2}{\sqrt{7}-1}=\dfrac{2\left(\sqrt{7}+1\right)}{\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7}+1\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{7}+1\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^2-1^2}=\)
\(=\dfrac{2\left(\sqrt{7}+1\right)}{7-1}=\dfrac{2\left(\sqrt{7}+1\right)}{6}=\dfrac{\sqrt{7}+1}{3}.\)
Відповідь: \(\dfrac{\sqrt{7}+1}{3}.\)
Слід зауважити, що вираз \(\sqrt{7}+1\) називають спряженим до виразу \(\sqrt{7}-1.\)
Узагалі, якщо у формулах скороченого множення результатом множення дужок, що містять радикали, є раціональний вираз, то вирази в дужках називають взаємно спряженими.
Так, \(\sqrt{7}-1\) і \(\sqrt{7}+1\) — взаємно спряжені вирази.
Взаємно спряженими виразами також є вирази:
\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) і \(\sqrt{a}+\sqrt{b},\)
\(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\) і \(3\sqrt{2}-\sqrt{5}\) тощо.