Порівняємо значення виразів \(\sqrt{4·9}\) і \(\sqrt{4}·\sqrt{9}\):
\(\sqrt{4·9}=\sqrt{36}=6,\) \(\sqrt{4}·\sqrt{9}=2·3=6.\)
Маємо: \(\sqrt{4·9}=\sqrt{4}·\sqrt{9}\), тобто корінь із добутку двох чисел дорівнює добутку їх коренів.
Така властивість справджується для добутку будь-яких двох невід’ємних чисел.
Теорема (арифметичний квадратний корінь із добутку)
Корінь із добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів із цих чисел, тобто якщо \(a\geqslant{0}\) і \(b\geqslant{0}\), то
| \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\) |
Оскільки \(a\geqslant{0}\) і \(b\geqslant{0}\), то вирази \(\sqrt{a}\) і \(\sqrt{b}\) мають зміст, причому \(\sqrt{a}\geqslant{0}\) і \(\sqrt{b}\geqslant{0}.\) Тому \(\sqrt{a}·\sqrt{b}\geqslant{0}.\)
Крім того \(\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2·\left(\sqrt{b}\right)^2=ab.\)
Маємо: \(\sqrt{a}·\sqrt{b}\geqslant{0}\) і \(\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)^2=ab.\)
Тоді за означенням арифметичного квадратного кореня: \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}.\)
Теорему доведено. \(\color{brown}\blacksquare\)
Зверни увагу!
Доведена теорема поширюється і на випадок, коли множників під знаком кореня три і більше.
Наслідок
Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників.
Доведення
Доведемо цей наслідок, наприклад, для трьох чисел \(a\geqslant{0},\) \(b\geqslant{0},\) \(c\geqslant{0}.\) Маємо:
\(\sqrt{abc}=\sqrt{(ab)c}=\sqrt{ab}·\sqrt{c}=\sqrt{a}·\sqrt{b}·\sqrt{c}.\)
Наслідок доведено. \(\color{brown}\blacksquare\)
Зверни увагу!
Зауваження
Очевидно, що вираз \(\sqrt{ab}\) має зміст за умови, коли \(ab\geqslant{0},\) тобто коли \(a\) і \(b\) відмінні від нуля числа, то це числа одного знака, а значить і тоді, коли обидві змінні \(a\) і \(b\) від’ємні.
У цьому випадку тотожність, яку ми розглянули вище, набуває вигляду \(\sqrt{ab}=\sqrt{-a}·\sqrt{-b},\) де \(-a\geqslant{0}\) і \(-b\geqslant{0}.\)
Ураховуючи обидва випадки, можна записати, що
| \(\sqrt{ab}=\sqrt{|a|}·\sqrt{|b|},\) де \(ab\geqslant{0}\) |
Якщо в рівності \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\) поміняти місцями ліву і праву частини, то одержимо тотожність:
| \(\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab},\) де \(a\geqslant{0},\) \(b\geqslant{0}\) |
Добуток коренів з невід’ємних чисел дорівнює кореню з добутку цих чисел.
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{25·36}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{25·36}=\sqrt{25}·\sqrt{25·36}=5·6=30.\)
Відповідь: \(30.\)
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{32·72}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{32·72}=\sqrt{(16·2)·(36·2)}=\sqrt{16·36·4}=\sqrt{16}·\sqrt{36}·\sqrt{4}=4·6·2=48.\)
Відповідь: \(48.\)
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{2}·\sqrt{18}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{2}·\sqrt{18}=\sqrt{2·18}=\sqrt{36}=6.\)
Відповідь: \(6.\)