Розглянемо квадратний корінь з дробу.
Теорема (про корінь з дробу)
Корінь з дробу, чисельник якого є невід’ємним, а знаменник — додатним, дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника, тобто якщо \(a\geqslant{0}\) і \(b>0,\) то
| \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) |
Доведення
Оскільки \(a\geqslant{0}\) і \(b>0,\) то вирази \(\sqrt{a}\) і \(\sqrt{b}\) мають зміст і \(\sqrt{a}\geqslant{0},\) \(\sqrt{b}>0.\)
Тому \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\geqslant{0}.\)
Крім того \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2}=\dfrac{a}{b}.\)
Маємо: \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\geqslant{0}\) і \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\dfrac{a}{b}.\)
Тоді, за означенням арифметичного квадратного кореня: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\)
Теорему доведено. \(\color{brown}\blacksquare\)
Зверни увагу!
Зауваження
Очевидно, що вираз \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) має зміст за умови, коли \(\dfrac{a}{b}\geqslant{0},\) тобто коли \(a\) і \(b\) відмінні від нуля числа, то це числа одного знака, а значить і тоді, коли обидві змінні \(a\) і \(b\) від’ємні.
Тому тотожність, яку ми розглянули вище, можна записати й так:
| \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}},\) де \(ab\geqslant{0},\) \(b\ne{0}\) |
Якщо в рівності \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) поміняти місцями ліву і праву частини, то одержимо тотожність:
| \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}},\) де \(a\geqslant{0},\) \(b>0\) |
Частка, чисельник якої є коренем з невід’ємного числа, а знаменник — коренем з додатного числа, дорівнює кореню із частки цих чисел.
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{\dfrac{25}{36}}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\dfrac{5}{6}.\)
Відповідь: \(\dfrac{5}{6}.\)
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{2\dfrac{1}{4}}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}=1\dfrac{1}{2}.\)
Відповідь: \(1\dfrac{1}{2}.\)
Приклад:
Обчисли \(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}.\)
Розв’язання
\(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3.\)
Відповідь: \(3.\)
Приклад:
Обчисли \(\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{45}}.\)
Розв’язання
\(\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{45}}=\sqrt{\dfrac{20}{45}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}.\)
Відповідь: \(\dfrac{2}{3}.\)