А як добути квадратний корінь із квадрата? На це запитання дає відповідь така теорема.
Теорема (про корінь із квадрата)
Для будь-якого значення \(a\) справджується рівність
| \(\sqrt{a^2}=|a|\) |
Доведення
Оскільки \(|a|\geqslant{0}\) і \(|a|^2=a^2\) для будь-якого \(a\), тому за означенням арифметичного квадратного кореня: \(\sqrt{a^2}=|a|.\)
Теорему доведено. \(\color{brown}\blacksquare\)
Розглянемо квадратний корінь із степеня.
Теорема (про корінь із степеня)
Для будь-якого значення \(a\) і натурального числа \(k\) справджується рівність
| \(\sqrt{a^{2k}}=\left|a^k\right|\) |
Доведення
Оскільки \(\sqrt{a^{2k}}=\sqrt{\left(a^k\right)^2},\) то за теоремою про корінь з квадрата маємо: \(\sqrt{\left(a^k\right)^2}=\left|a^k\right|.\) Отже, \(\sqrt{a^{2k}}=\left|a^k\right|.\)
Теорему доведено. \(\color{brown}\blacksquare\)
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{7^2}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{7^2}=|7|=7.\)
Відповідь: \(7.\)
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{(-3)^2}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3.\)
Відповідь: \(3.\)
Приклад:
Обчисли \(\sqrt{1,5^4}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{1,5^4}=\sqrt{\left(1,5^2\right)^2}=\left|1,5^2\right|=2,25.\)
Відповідь: \(2,25.\)
Приклад:
Спрости вираз \(\sqrt{a^{16}}.\)
Розв’язання
\(\sqrt{a^{16}}=\sqrt{\left(a^8\right)^2}=\left|a^8\right|.\) Оскільки \(a^8\geqslant{0}\) для будь-якого значення \(a,\) то \(\left|a^8\right|=a^8.\) Отже, \(\sqrt{a^{16}}=a^8.\)
Відповідь: \(a^8.\)
Приклад:
Спрости вираз \(\sqrt{p^{6}},\) де \(p<0.\)
Розв’язання
\(\sqrt{p^6}=\sqrt{\left(p^3\right)^2}=\left|p^3\right|.\) Оскільки \(p<0,\) то \(p^3<0,\) а тому \(\left|p^3\right|=-p^3.\) Отже, якщо \(p<0,\) то \(\sqrt{p^6}=-p^3.\)
Відповідь: \(-p^3.\)
Розв’язання
\(\sqrt{p^6}=\sqrt{\left(p^3\right)^2}=\left|p^3\right|.\) Оскільки \(p<0,\) то \(p^3<0,\) а тому \(\left|p^3\right|=-p^3.\) Отже, якщо \(p<0,\) то \(\sqrt{p^6}=-p^3.\)
Відповідь: \(-p^3.\)