Знаючи коефіцієнти \(a\) і \(b\) рівняння першого степеня \(ax=b,\) можна знайти його корінь за формулою \(x=\dfrac{b}{a}.\)
Виведемо формулу, яка дає змогу за коефіцієнтами \(a,\) \(b\) і \(c\) квадратного рівняння \(ax^2+bx+c=0\) знаходити його корені.
Розглянемо повне квадратне рівняння \(ax^2 + bx + c = 0,\) \(a\ne{0}\) та знайдемо його корені в загальному вигляді.
Помножимо ліву і праву частини рівняння на \(4a\) (оскільки \(a\ne{0},\) то і \(4a\ne{0}\)), отримаємо рівняння, рівносильне заданому:
\(4a^2x^2+4abx+4ac=0.\)
Додамо до обох частин рівняння \(b^2\):
\(4a^2x^2+4abx+4ac+b^2=b^2;\)
\(\underline{4a^2x^2+4abx+b^2}+4ac=b^2.\)
Оскільки \(4a^2x^2+4abx+b^2= \left(2ax+b\right)^2,\) матимемо:
\(\left(2ax+b\right)^2+4ac=b^2;\)
\(\left(2ax+b\right)^2=b^2-4ac.\)
Зрозуміло, що існування коренів останнього рівняння та їхня кількість залежать від знака значення виразу \(b^2-4ac.\)
Вираз \(b^2-4ac\) називають дискримінантом квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) і позначають буквою \(D,\) тобто
| \(D=b^2-4ac\) |
Термін «дискримінант» походить від латинського слова discriminare, що означає «розрізняти», «розділяти».
Тепер останнє рівняння можна записати так:
\(\left(2ax+b\right)^2=D\)
і продовжуємо його розв’язувати.
Залежно від значеня \(D\) можливі три випадки: \(D>0,\) \(D=0,\) \(D<0.\)
Розглянемо кожний із цих випадків.
1. Якщо \(D>0,\) то рівняння \(\left(2ax+b\right)^2=D\) можна записати у вигляді \(\left(2ax+b\right)^2=\left(\sqrt{D}\right)^2.\)
Звідси
| \(2ax+b=\sqrt{D}\) | або | \(2ax+b=-\sqrt{D};\) |
|
\(2ax=-b+\sqrt{D};\)
|
\(2ax=-b-\sqrt{D};\) | |
|
\(x=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a};\)
|
\(x=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}.\) |
При діленні на \(2a\) врахували, що \(a\ne{0}.\)
Висновок: якщо \(D>0,\) то квадратне рівняння має два різних корені \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) і \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}.\)
Коротко це можна записати так:
|
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm{\sqrt{D}}}{2a},\) де \(D=b^2-4ac\)
|
Отримали формулу коренів квадратного рівняння.
2. Якщо \(D=0,\) то рівняння \(\left(2ax+b\right)^2=D\) набуває вигляду \(\left(2ax+b\right)^2=0.\)
Звідси \(2ax+b=0;\) \(x=-\dfrac{b}{2a}.\)
Висновок: якщо \(D=0,\) то квадратне рівняння має один корінь \(x=-\dfrac{b}{2a}.\)
Цей корінь можна було б знайти і за формулою коренів квадратного рівняння, урахувавши, що \(D=0\):
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm{\sqrt{0}}}{2a}=-\dfrac{b}{2a}.\)
Тому можна вважати, що рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) для \(D=0\) має два однакових корені, кожний з яких дорівнює \(-\dfrac{b}{2a}.\)
3. Якщо \(D<0,\) то рівняння \(\left(2ax+b\right)^2=D,\) а отже і рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) коренів не має. Справді, при будь-якому значенні \(x\) вираз \(\left(2ax+b\right)^2\) набуває тільки невід’ємних значень.
Висновок: якщо \(D<0,\) то квадратне рівняння коренів не має.
Систематизуємо алгоритм розв’язування квадратного рівняння у вигляді схеми:
