Розглянемо приклади розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних.
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(\left(3-\sqrt{x}\,\right)\!\!\left(x^2+2x-3\right)=0.\)
Розв’язання
ОДЗ: \(x\geqslant{0}.\)
Маємо:
| \(3-\sqrt{x}=0\) | або | \(x^2+2x-3=0;\) |
|
\(\sqrt{x}=3;\)
|
\(D=2^2-4·1·(-3)=4+12=16;\)
|
|
|
\(x_1=9;\)
|
\(x_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2·1}=\dfrac{-2+4}{2}=\dfrac{2}{2}=1;\)
|
|
|
|
\(x_3=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2·1}=\dfrac{-2-4}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3\) (не задовольняє ОДЗ).
|
Відповідь: \(1;9.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(x^2+5\sqrt{x^2}-14=0.\)
Розв’язання
ОДЗ: \(x\!\in\!\mathbb{R}.\)
Оскільки \(\sqrt{x^2}=|x|,\) то матимемо: \(x^2+5|x|-14=0.\)
1) При \(x\geqslant{0}\) отримаємо рівняння \(x^2+5x-14=0.\)
Розв’яжемо це рівняння:
\(D=5^2-4·1·(-14)=25+56=81;\)
\(x_1=\dfrac{-5+\sqrt{81}}{2·1}=\dfrac{-5+9}{2}=\dfrac{4}{2}=2;\)
\(x_2=\dfrac{-5-\sqrt{81}}{2·1}=\dfrac{-5-9}{2}=\dfrac{-14}{2}=-7\) (не задовольняє умову \(x\geqslant{0}\)).
2) При \(x<0\) отримаємо рівняння \(x^2-5x-14=0.\)
Розв’яжемо це рівняння:
\(D=(-5)^2-4·1·(-14)=25+56=81;\)
\(x_1=\dfrac{5+\sqrt{81}}{2·1}=\dfrac{5+9}{2}=\dfrac{14}{2}=7\) (не задовольняє умову \(x<0\));
\(x_2=\dfrac{5-\sqrt{81}}{2·1}=\dfrac{5-9}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2.\)
Відповідь: \(-2;2.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(x^2-3\left(\sqrt{x}\,\right)^2-28=0.\)
Розв’язання
ОДЗ: \(x\geqslant{0}.\)
Маємо:
\(x^2-3x-28=0;\)
\(D=(-3)^2-4·1·(-28)=9+112=121;\)
\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{121}}{2·1}=\dfrac{3+11}{2}=\dfrac{14}{2}=7;\)
\(x_2=\dfrac{3-\sqrt{121}}{2·1}=\dfrac{3-11}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4\) (не задовольняє ОДЗ).
Відповідь: \(7.\)
Приклад:
Знайди всі значення \(a,\) для яких рівняння \(2x^2-ax+18=0\) має один корінь.
Розв’язання
Оскільки задане рівняння є квадратним, то воно має один корінь, якщо дискримінант рівняння дорівнює нулю.
Маємо:
\(D=(-a)^2-4·2·18=a^2-144;\)
\(a^2-144=0;\)
\(a^2=144;\)
\(a_1=\sqrt{144}=12;\)
\(a_2=-\sqrt{144}=-12.\)
Відповідь: \(a=-12\) або \(a=12.\)
Приклад:
Знайди всі значення \(a,\) для яких рівняння \((a+6)x^2-(a-2)x+1=0\) має один корінь.
Розв’язання
Якщо \(a=-6,\) то рівняння набуває вигляду: \(-(-6-2)x+1=0,\) тобто \(8x+1=0.\) Це — лінійне рівняння, яке має один корінь.
Якщо \(a\ne{-6},\) то маємо квадратне рівняння. Воно має один корінь, якщо дискримінант рівняння дорівнює нулю:
\(D=(a-2)^2-4·(a+6)·1=a^2-\underline{4a}+\underline{\underline{4}}-\underline{4a}-\underline{\underline{24}}=a^2-8a-20.\)
Маємо:
\(a^2-8a-20=0.\)
Розв’яжемо це рівняння відносно \(a\):
\(D=(-8)^2-4·1·(-20)=64+80=144;\)
\(a_1=\dfrac{8+\sqrt{144}}{2·1}=\dfrac{8+12}{2}=\dfrac{20}{2}=10;\)
\(a_2=\dfrac{8-\sqrt{144}}{2·1}=\dfrac{8-12}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2.\)
Відповідь: \(a=-6,\) або \(a=-2,\) або \(a=10.\)