Якщо другий коефіцієнт \(b\) квадратного рівняння \(ax^2+bx+c=0\) подати у вигляді \(2k\), то для розв’язування такого рівняння можна користуватися іншою формулою, яка в багатьох випадках полегшує обчислення.
Розглянемо квадратне рівняння вигляду \(ax^2+2kx+c=0.\)
Знайдемо його дискримінант:
\(D=4k^2-4ac=4\left(k^2-ac\right).\)
Позначимо вираз \((k^2-ac)\) через \(D_1.\)
Якщо \(D_1\geqslant{0},\) то за формулою коренів квадратного рівняння отримаємо:
\(x=\dfrac{-2k\pm{\sqrt{4D_1}}}{2a}=\dfrac{-2k\pm{2\sqrt{D_1}}}{2a}=\dfrac{2\left(-k\pm{\sqrt{D_1}}\right)}{2a}=\dfrac{-k\pm{\sqrt{D_1}}}{a},\)
тобто
|
\(x_{1,2}=\dfrac{-k\pm{\sqrt{D_1}}}{a},\) де \(D_1=k^2-ac\)
|
Систематизуємо алгоритм розв’язування квадратного рівняння, другий коефіцієнт якого є парним числом, у вигляді схеми:
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(x^2-34x+288=0.\)
Розв’язання
I спосіб
\(D=(-34)^2-4·1·288=1156-1152=4;\)
\(x_1=\dfrac{34+\sqrt{4}}{2·1}=\dfrac{34+2}{2}=\dfrac{36}{2}=18;\)
\(x_2=\dfrac{34-\sqrt{4}}{2·1}=\dfrac{34-2}{2}=\dfrac{32}{2}=16.\)
Відповідь: \(16; 18.\)
II спосіб
\(D_1=\left(\dfrac{-34}{2}\right)^2-1·288= (-17)^2-288=289-288=1;\)
\(x_1=\dfrac{\dfrac{34}{2}+\sqrt{1}}{1}=17+1=18;\)
\(x_2=\dfrac{\dfrac{34}{2}-\sqrt{1}}{1}=17-1=16.\)
Відповідь: \(16; 18.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(3x^2-2x-16=0.\)
Розв’язання
I спосіб
\(D=(-2)^2-4·3·(-16)=4+192=196;\)
\(x_1=\dfrac{2+\sqrt{196}}{2·3}=\dfrac{2+14}{6}=\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3};\)
\(x_2=\dfrac{2-\sqrt{196}}{2·3}=\dfrac{2-14}{6}=\dfrac{-12}{6}=-2.\)
Відповідь: \(-2; 2\dfrac{2}{3}.\)
II спосіб
\(D_1=\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-3·(-16)= (-1)^2+48=1+48=49;\)
\(x_1=\dfrac{\dfrac{2}{2}+\sqrt{49}}{3}=\dfrac{1+7}{3}=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3};\)
\(x_2=\dfrac{\dfrac{2}{2}-\sqrt{49}}{3}=\dfrac{1-7}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2.\)
Відповідь: \(-2; 2\dfrac{2}{3}.\)