У 7-му класі ми розв’язували задачі за допомогою лінійних рівнянь або систем лінійних рівнянь.
Щоб розв’язати прикладну задачу, спочатку створюють її математичну модель, тобто записують залежність між відомими і невідомими величинами за допомогою математичних понять, відношень, формул, рівнянь тощо.
Математичною моделлю багатьох задач у математиці, фізиці, техніці, практичній діяльності людини може бути не тільки лінійне рівняння чи система лінійних рівнянь, а й квадратне рівняння.
Розглянемо кілька прикладів.
Приклад:
Різниця кубів двох натуральних чисел дорівнює \(485.\) Знайди ці числа, якщо одне з них на \(5\) більше за друге.
Розв’язання
Нехай менше із цих чисел дорівнює \(x,\) тоді більше дорівнює \(x + 5.\) За умовою задачі складаємо рівняння:
\(\left(x+5\right)^3-x^3=485.\)
Розв’яжемо це рівняння, спростивши його ліву частину:
\(\left(x+5\right)^3-x^3=485;\)
\(\left(\underline{x}+5-\underline{x}\right)\left(\left(x+5\right)^2+\left(x+5\right)x+x^2\right)=485;\)
\(5\left(\underline{x^2}+\underline{\underline{10x}}+25+\underline{x^2}+\underline{\underline{5x}}+\underline{x^2}\right)=485;\)
\(5\left(3x^2+15x+25\right)=485;\) \(\quad |:5\)
\(3x^2+15x+25=97;\)
\(3x^2+15x+25-97=0;\)
\(3x^2+15x+72=0;\) \(\quad |:3\)
\(x^2+5x+24=0,\)
звідки за теоремою, оберненою до теореми Вієта:
\(x_1=3;\)
\(x_2=-8\notin\mathbb{N}\) — не задовольняє умову задачі.
Отже, перше число дорівнює \(3,\) тоді друге число: \(3+5=8.\)
Відповідь: \(3;8.\)
Приклад:
У кінотеатрі кількість місць у ряду на \(5\) більша за кількість рядів. Скільки рядів у кінотеатрі, якщо у ньому \(500\) місць?
Розв’язання
Нехай у кінотеатрі x рядів, тоді в кожному ряду \((x+5)\) місць, а всього місць — \(x(x+5).\)
За умовою задачі складаємо рівняння: \(x(x+5)=500.\)
Розв’яжемо це рівняння:
\(x(x+5)=500;\)
\(x^2+5x=500;\)
\(x^2+5x-500=0,\)
звідки за теоремою, оберненою до теореми Вієта:
\(x_1=20;\)
\(x_2=-25\notin\mathbb{N}\) — не задовольняє умову задачі, бо кількість рядів може бути подана лише натуральним числом.
Отже, у кінотеатрі \(20\) рядів.
Відповідь: \(20\) рядів.
Приклад:
У деякому опуклому многокутнику можна провести \(27\) діагоналей. Знайди, скільки в нього вершин.
Розв’язання.
Нехай многокутник має \(x\) вершин.
З кожної його вершини виходить \((x–3)\) діагоналі. Тоді з усіх \(x\) його вершин виходить
\(x(x–3)\) діагоналей. Але в цьому випадку кожну діагональ пораховано двічі.
\(x(x–3)\) діагоналей. Але в цьому випадку кожну діагональ пораховано двічі.
Отже, у многокутнику можна провести \(\dfrac{x(x–3)}{2}\) діагоналей.
За умовою задачі складаємо рівняння: \(\dfrac{x(x–3)}{2}=27.\)
Розв’яжемо це рівняння:
\(\dfrac{x(x–3)}{2}=27;\) \(\quad |·2\)
\(x(x–3)=54;\)
\(x^2-3x=54;\)
\(x^2-3x-54=0,\)
звідки за теоремою, оберненою до теореми Вієта:
\(x_1=9;\)
\(x_2=-6\notin\mathbb{N}\) — не задовольняє умову задачі, бо кількість вершин многокутника може бути подана лише натуральним числом.
Отже, многокутник має \(9\) вершин.
Відповідь: \(9\) вершин.
Приклад:
Тіло підкинули вертикально вгору з початковою швидкістю \(15\) м/с. Висота \(h\) (у м), на якій буде тіло через \(t\) с, обчислюється за формулою \(h=15t-5t^2.\) У який момент часу тіло опиниться на висоті \(10\) м?
Розв’язання
За умовою задачі складаємо рівняння: \(10=15t-5t^2.\)
Розв’яжемо це рівняння:
\(10=15t-5t^2;\)
\(5t^2-15t+10=0;\) \(\quad |:5\)
\(t^2-3t+2=0,\)
звідки за теоремою, оберненою до теореми Вієта:
\(x_1=2;\)
\(x_2=1.\)
Обидва корені задовольняють умову задачі, оскільки на висоті \(10\) м тіло буде двічі: спочатку під час руху вгору (це відбудеться через \(1\) с), а вдруге — під час падіння (це відбудеться через \(2\) с).
Відповідь: через \(1\) с та \(2\) с.
Приклад:
О \(5\)-й годині ранку з табору в північному напрямку вирушила група туристів зі швидкістю \(4\) км/год. Через чотири години з того самого табору зі швидкістю \(15\) км/год вирушила велосипедистка, але в західному напрямку. О котрій годині відстань між групою тиристів і велосипедисткою буде \(53\) км?
Розв’язання
Нехай велосипедистка була в дорозі \(x\) год. Тоді група туристів була в дорозі \((x+4)\) год. За \(x\) год велосипедистка подолала відстань \(CA=15x\) км, а група туристів за \((x+4)\) год подолала відстань \(CB=4(x+4)\) км ( див. рисунок).
Із прямокутного трикутника \(ABC\) \((\angle{C}=90^\circ)\) за теоремою Піфагора складаємо рівняння: \(\left(4\left(x+4\right)\right)^2+\left(15x\right)^2=53^2.\)
Розв’яжемо це рівняння:
\(\left(4\left(x+4\right)\right)^2+\left(15x\right)^2=53^2;\)
\(16\left(x^2+8x+16\right)+225x^2=2809;\)
\(\underline{16x^2}+128x+256+\underline{225x^2}=2809;\)
\(241x^2+128x+256=2809;\)
\(241x^2+128x+\underline{256}-\underline{2809}=0;\)
\(241x^2+128x-2553=0.\)
Оскільки другий коефіцієнт отриманого квадратного рівняння \(b=128\) — парне число, то для розв’язання цього рівняння скористаємося формулами \(D_1=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\) та \(x_{1,2}=\dfrac{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{D_1}}{a}\):
\(D_1=\left(\dfrac{128}{2}\right)^2-241·\left(-2553\right)=64^2+615273=4096+615273=619369;\)
\(x_1=\dfrac{-64+\sqrt{619369}}{241}=\dfrac{-64+787}{241}=\dfrac{723}{241}=3;\)
\(x_2=\dfrac{-64-\sqrt{619369}}{241}=\dfrac{-64-787}{241}=\dfrac{-851}{241}=-3\dfrac{128}{241}<0\) — не задовольняє умову задачі.
Отже, велосипедистка була в дорозі \(3\) год, тоді група туристів була в дорозі \(3+4=7\) (год).
Звідси відстань \(53\) км між групою туристів та велосипедисткою буде о \(5+7=13\) (-й годині).
Відповідь: о \(13\)-й годині.