Розглянемо приклади.
Приклад:
Розв’яжи рівняння \((2x-1)^2=(x-3)(x-1)+4.\)
Розв’язання
Виконаємо тотожні перетворення та застосуємо властивості рівнянь.
Отримаємо:
\(4x^2-4x+1=x^2-x-3x+3+4;\)
\(4x^2-\underline{4x}+1=x^2-\underline{4x}+7;\)
\(4x^2-x^2=7-1;\)
\(3x^2=6;\)
\(x^2=2;\)
\(x_{1,2}=\pm{\sqrt{2}}.\)
Відповідь: \(\pm{\sqrt{2}}.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(\dfrac{|x^3|}{x}-4=0.\)
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne{0}.\)
Розглянемо два випадки: \(x>0\) і \(x<0.\)
1) Якщо \(x>0,\) то \(x^3>0\) і \(|x^3|=x^3.\) Тоді маємо рівняння \(\dfrac{x^3}{x}-4=0.\) З урахуванням ОДЗ отримаємо: \(x^2-4=0;\) \(x^2=4;\) \(x=2\) або \(x=-2.\) Але корінь \(x=-2\) не задовольняє умову \(x>0.\)
2) Якщо \(x<0,\) то \(x^3<0\) і \(|x^3|=-x^3.\) Тоді маємо рівняння \(-\dfrac{x^3}{x}-4=0.\) З урахуванням ОДЗ отримаємо: \(-x^2-4=0;\) \(x^2+4=0;\) \(x^2=-4<0.\) Це рівняння коренів не має.
Відповідь: \(2.\)