Неповні квадратні рівняння та їх розв’язування

Якщо у квадратному рівнянні \(ax^2+bx+c=0\) хоча б один із коефіцієнтів \(b\) або \(c\) дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.

Існує три види неповних квадратних рівнянь.

1. При \(b=c=0\) маємо: \(ax^2=0.\)

2. При \(b=0\) і \(c\ne{0}\) маємо: \(ax^2+c=0.\)

3. При \(c=0\) і \(b\ne{0}\) маємо: \(ax^2+bx=0.\)

Розглянемо розв’язування кожного виду.

1. Рівняння виду \(ax^2=0\)

Оскільки \(a\ne{0},\) маємо рівняння \(x^2=0,\) коренем якого є число \(0.\)

Отже, рівняння має єдиний корінь: \(x=0.\)

2. Рівняння виду \(ax^2+c=0,\) \(c\ne{0}\)

Маємо: \(ax^2=-c,\) тобто \(x^2=-\dfrac{c}{a}.\)

Оскільки \(c\ne{0},\) то і \(-\dfrac{c}{a}\ne{0}.\)

Розглянемо два випадки:

1) якщо \(-\dfrac{c}{a}>0,\) то рівняння має два корені: \(x_1=-\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\) і \(x_2=\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\) або скорочено: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}};\)

2) якщо \(-\dfrac{c}{a}<0,\) то рівняння коренів не має.

2. Рівняння виду \(ax^2+bx=0,\) \(b\ne{0}\)

Розкладемо ліву частину рівняння на множники, отримаємо рівняння: \(x(ax+b)=0.\) Розв’яжемо це рівняння:

\(x=0\)

або

\(ax+b=0;\)

\(ax=-b;\)

\(x=-\dfrac{b}{a},\) оскільки \(a\ne{0}.\)

Отже, рівняння має два корені: \(x_1=0\) і \(x_2=-\dfrac{b}{a}.\)

Приклад:

Розв’яжи рівняння \(2x^2-7x=0.\)

Розв’язання