З 6-го класу ми вміємо розв’язувати лінійні рівняння, тобто рівняння виду \(ax=b,\) де \(x\) — змінна, \(a\) і \(b\) — деякі числа.
Якщо \(a\ne{0},\) то рівняння \(ax=b\) називають рівнянням першого степеня.
Наприклад, кожне з лінійних рівнянь \(3x=4,\) \(5x=0,\) \(\dfrac{1}{2}x=-9\) є рівнянням першого степеня. А такі лінійні рівняння, як \(0x=0,\) \(0x=2,\) \(0x=-7\) не є рівняннями першого степеня.
Числа \(a\) і \(b\) називають коефіцієнтами рівняння першого степеня \(ax=b.\)
Отже, множина рівнянь першого степеня є підмножиною множини лінійних рівнянь:
Ми також уміємо розв’язувати деякі рівняння, які містять змінну в другому степені. Такі рівняння ми розв’язували таким чином. Переносили всі доданки в ліву частину рівняння, у правій частині отримували нуль. Одержаний многочлен у лівій частині рівняння розкладали на множники і кожний із множників прирівнювали до нуля (добуток дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю).
Наприклад:
1) \(x^2=0;\) \(x=0;\)
2) \(x^2-1=0;\) \((x-1)(x+1)=0;\) отже, \(x-1=0\) або \(x+1=0,\) звідки \(x_1=1;\) \(x_2=-1;\)
3) \(x^2+3x=0;\) \(x(x+3)=0;\) отже, \(x=0\) або \(x+3=0,\) звідки \(x_1=0;\) \(x_2=-3;\)
4) \(x^2-2x+1=0;\) \((x-1)^2=0;\) отже, \(x-1=0,\) звідки \(x=1;\)
5) \(x^2+5x+6=0;\) \(x^2+2x+3x+6=0;\) \(x(x+2)+3(x+2)=0;\) \((x+2)(x+3)=0;\) отже, \(x+2=0\) або \(x+3=0,\) звідки \(x_1=-2;\) \(x_2=-3.\)
Кожне із цих рівнянь має вид \(ax^2+bx+c=0.\)
У математиці, фізиці, економіці, практичній діяльності людини трапляються задачі, математичними моделями яких є рівняння, що містять змінну в другому степені.
Приклад:
Довжина земельної ділянки на \(10\) м більша за ширину, а площа дорівнює \(300\) м². Знайди ширину ділянки.
Розв’язання
Нехай ширина ділянки дорівнює \(x\) м, тоді її довжина — \((x+10)\) м.
За умовою задачі площа ділянки дорівнює \(300\) м².
Тоді маємо рівняння: \(x(x+10)=300.\)
Після перетворень цього рівняння отримаємо рівняння \(x^2+10x \, –300=0,\) яке називають квадратним.
Квадратним рівнянням називають рівняння виду \(ax^2+bx+c=0\), де \(x\) — змінна, \(a,\) \(b,\) і \(c\) — деякі числа, причому \(a\ne{0}.\)
Наприклад, рівняння \(3x^2-4x-5=0\) та \(-2x^2+x-9=0\) також є квадратними.
Числа \(a,\) \(b,\) і \(c\) називають коефіцієнтами квадратного рівняння.
Число \(a\) називають першим або старшим коефіцієнтом, число \(b\) — другим коефіцієнтом, число \(c\) — вільним членом.
Наприклад, у квадратному рівнянні \(3x^2-4x-5=0\) коефіцієнти такі: \(a=3;\) \(b=-4;\) \(c=-5.\) У квадратному рівнянні \(-2x^2+x-9=0\) коефіцієнти такі: \(a=-2;\) \(b=1;\) \(c=-9\). У квадратному рівнянні \(x^2-x+6=0\) коефіцієнти такі: \(a=1;\) \(b=-1;\) \(c=6\).
Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює \(1,\) називають зведеним.
Рівняння \(x^2+10x-300=0\) — зведене, а рівняння \(3x^2-4x-5=0\) — не є зведеним.
Оскільки у квадратному рівнянні \(ax^2+bx+c=0\) перший коефіцієнт не дорівнює нулю, то незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити у зведене, рівносильне заданому.
Розділивши обидві частини рівняння \(ax^2+bx+c=0\) на число \(a\ne{0},\) отримаємо зведене квадратне рівняння \(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0.\)