Чи можна деякі незведені квадратні рівняння розв’язувати усно аналогічно тому, як ми розв’язували зведені квадратні рівняння за теоремою, оберненою до теореми Вієта?
Можна!
Нехай нам треба розв’язати незведене квадратне рівняння \(ax^2+bx+c=0.\)
Оскільки за означенням квадратного рівняння \(a\ne{0},\) то помножимо ліву і праву частини рівняння на \(a.\)
Отримаємо: \(a^2x^2+abx+ac=0.\)
Зробимо заміну змінної: \(ax=y.\) Тоді задане рівняння запишеться так: \(y^2+by+ac=0.\)
Отримали зведене квадратне рівняння виду \(y^2+py+q=0,\) де \(p=b,\) \(q=ac,\) відносно змінної \(y.\)
Розв’яжемо одержане квадратне рівняння усно за допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта \(\begin{cases} y_1+y_2=-p, \\ y_1y_2=q \end{cases}\) та знайдемо його корені \(y_1\) і \(y_2.\)
Тепер повернемося до змінної \(x\) (виконаємо обернену заміну).
Оскільки нами була зроблена заміна \(ax=y,\) то звідси подамо \(x\) через \(y\): \(x=\dfrac{y}{a}.\) Тобто, отримані корені \(y_1\) і \(y_2\) поділимо на старший коефіцієнт \(a\) початкового рівняння і знайдемо значення \(x_1\) і \(x_2\):
\(x_1=\dfrac{y_1}{a},\) \(\quad x_2=\dfrac{y_2}{a}.\)
Записуємо відповідь.
Отже, метод «перекидання» коефіцієнтів — це швидкий спосіб розв’язування незведених квадратних рівнянь \(ax^2+bx+c=0\) шляхом утворення зведеного квадратного рівняння \(y^2+by+ac=0,\) у якому вільний член є добутком вільного члена та старшого коефіцієнта початкового рівняння.
Тобто старший коефіцієнт початкового рівняння «перекидається» до вільного члена.
Тому цей метод дістав назву «Метод перекидання коефіцієнтів».
Далі знайдені усно корені \(y_1\) і \(y_2\) слід поділити на \(a\) — отримаємо корені \(x_1\) і \(x_2\) заданого рівняння.
Основні етапи розв’язування незведених квадратних рівнянь методом перекидання коефіцієнтів:
1. Перекидання: утворюємо зведене квадратне рівняння \(y^2+by+ac=0,\) тобто рівняння, у якому другий коефіцієнт збігається з другим коефіцієнтом початкового рівняння, а вільний член дорівнює добутку першого коефіцієнта і вільного члена початкового рівняння.
2. Розв’язування: розв’язуємо отримане квадратне рівняння усно за допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта: \(\begin{cases} y_1+y_2=-b, \\ y_1y_2=a·c \end{cases}\) та знаходимо його корені \(y_1\) і \(y_2.\)
3. Повернення до змінних \(x_1\) і \(x_2\): отримані корені \(y_1\) і \(y_2\) ділимо на старший коефіцієнт \(a\) початкового рівняння: \(x_1=\dfrac{y_1}{a},\) \(\; x_2=\dfrac{y_2}{a}.\)
Приклад:
Розв’яжи методом перекидання коефіцієнтів рівняння \(2x^2-11x+5=0.\)
Розв’язання
1. Перекидаємо число \(2\) (старший коефіцієнт) до вільного члена \(c\): \(y^2-11y+\left(5·2\right)=0,\) отримаємо \(y^2-11y+10=0.\)
2. Знаходимо корені отриманого рівняння за теоремою, оберненою до теореми Вієта: \(\begin{cases} y_1+y_2=11, \\ y_1y_2=10, \end{cases}\) звідки \(y_1=10,\) \(y_2=1.\)
3. Ділимо одержані корені \(y_1\) і \(y_2\) на \(2\) (на старший коефіцієнт \(a\) початкового рівняння), отримаємо: \(x_1=\dfrac{10}{2}=5,\) \(x_2=\dfrac{1}{2}.\)
4. Відповідь: \(5;\) \(\dfrac{1}{2}.\)
Переваги методу перекидання коефіцієнтів:
• дозволяє усно розв’язувати незведені квадратні рівняння.
• ефективний, коли дискримінант є квадратом натурального числа.
• дозволяє усно розв’язувати незведені квадратні рівняння.
• ефективний, коли дискримінант є квадратом натурального числа.