Чи можна деякі зведені квадратні рівняння розв’язати усно (підбором коренів)?
Відповідь ствердна: так!
Якщо в рівнянні \(x^2+px+q=0\) коефіцієнт \(q\) є цілим числом, то з рівності \(x_1x_2=q\) слідує, що цілими коренями цього рівняння можуть бути лише дільники числа \(q.\) Тому деякі зведені квадратні рівняння можна розв’язувати усно (підбором коренів).
Зверни увагу!
Цей метод можна застосовувати, коли корені рівняння є цілими числами.
Якщо рівняння має дробові або ірраціональні корені, то слід його розв’язувати, використовуючи дискримінант.
Алгоритм дій під час розв’язування зведених квадратних рівнянь усно (підбором коренів):
1) запис умов: \(\; x_1+x_2=-p \; \) і \(\; x_1x_2=q;\)
2) підбір можливих коренів: шукаємо всі можливі пари чисел, що є дільниками вільного члена \(q,\) добуток яких дорівнює вільному члену \(q;\)
3) перевірка: шукаємо серед підібраних можливих коренів такі числа, сума яких дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком (\(-p\));
4) відповідь: якщо вдалося знайти серед підібраних можливих коренів такі числа, сума яких дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком (\(-p\)), то записуємо відповідь; якщо не вдалося, то рівняння розв’язуємо, використовуючи дискримінант.
Приклад:
Знайди підбором корені рівняння \(x^2+5x-6=0.\)
Розв’язання
Нехай \(x_1\) і \(x_2\) — корені цього рівняння. Тоді \(\; x_1+x_2=-5 \; \) і \(\; x_1x_2=-6.\)
Шукаємо всі можливі пари чисел, що є дільниками вільного члена \(-6,\) добуток яких дорівнює вільному члену \(-6\):
\(-1\) і \(6;\) \(\; 1\) і \(-6;\) \(\;-2\) і \(3;\) \(\; 2\) і \(-3.\)
Серед одержаних пар чисел шукаємо такі, сума яких дорівнює \(-5.\) Неважко здогадатися, що це числа \(1\) і \(-6.\)
Отже, \(\; x_1=1,\) \(\; x_2=-6.\)
Відповідь: \(\; 1;\) \(\; -6.\)
Приклад:
Знайди підбором корені рівняння \(x^2-5x+6=0.\)
Розв’язання
Нехай \(x_1\) і \(x_2\) — корені цього рівняння. Тоді \(\; x_1+x_2=5 \; \) і \(\; x_1x_2=6.\)
Шукаємо всі можливі пари чисел, що є дільниками вільного члена \(6,\) добуток яких дорівнює вільному члену \(6\):
\(1\) і \(6;\) \(\; -1\) і \(-6;\) \(\;2\) і \(3;\) \(\;-2\) і \(-3.\)
Серед одержаних пар чисел шукаємо такі, сума яких дорівнює \(5.\) Неважко здогадатися, що це числа \(2\) і \(3.\)
Отже, \(\; x_1=2,\) \(\; x_2=3.\)
Відповідь: \(\; 2;\) \(\; 3.\)