Розглянемо кілька зведених квадратних рівнянь, що мають два різних корені. У таблицю занесемо такі дані про них: саме рівняння, його корені \(x_1\) і \(x_2,\) суму його коренів \(x_1+x_2\) та добуток його коренів \(x_1⋅x_2\):
| Рівняння | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_1+x_2\) | \(x_1·x_2\) |
| \(x^2-7x+10=0\) | \(2\) | \(5\) | \(7\) | \(10\) |
| \(x^2-x-6=0\) | \(-2\) | \(3\) | \(1\) | \(-6\) |
| \(x^2+x-20=0\) | \(-5\) | \(4\) | \(-1\) | \(-20\) |
| \(x^2+7x+12=0\) | \(-3\) | \(-4\) | \(-7\) | \(12\) |
| \(x^2-5x-6=0\) | \(-1\) | \(6\) | \(5\) | \(-6\) |
Помічаємо, що сума коренів кожного з рівнянь таблиці дорівнює другому коефіцієнту рівняння, узятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Ця властивість справджується для будь-якого зведеного квадратного рівняння, яке має корені.
Зверни увагу!
У зведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт позначають буквою \(p,\) а вільний член буквою \(q,\) щоб не плутати з коефіцієнтами незведеного квадратного рівняння.
Отже, зведене квадратне рівняння в загальному вигляді зазвичай записують так: \(x^2+px+q=0.\)
Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів — вільному члену.
Доведення
Нехай \(x_1\) і \(x_2\) — корені зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0,\) дискримінант якого \(D=p^2 – 4q.\)
Якщо \(D>0,\) то рівняння має два корені:
\(x_1=\dfrac{-p+\sqrt{D}}{2} \quad\) і \(\quad x_2=\dfrac{-p-\sqrt{D}}{2}.\)
Якщо \(D=0,\) то рівняння \(x^2+px+q=0\) має два однакові корені: \(x_1=x_2=\dfrac{-p}{2}.\)
Знайдемо суму і добуток коренів:
\(x_1+x_2=\dfrac{-p+\sqrt{D}}{2}+\dfrac{-p-\sqrt{D}}{2}=\dfrac{-p+\sqrt{D}-p-\sqrt{D}}{2}=\dfrac{-2p}{2}=-p;\)
\(x_1·x_2=\dfrac{-p+\sqrt{D}}{2}·\dfrac{-p-\sqrt{D}}{2}=\dfrac{\left(-p+\sqrt{D}\right)·\left(-p-\sqrt{D}\right)}{4}=\dfrac{\left(-p\right)^2-\left(\sqrt{D}\right)^2}{4}=\)
\(=\dfrac{p^2-D}{2}=\dfrac{p^2-\left(p^2-4q\right)}{4}=\dfrac{p^2-p^2+4q}{4}=\dfrac{4q}{4}=q.\)
Отже, \(x_1+x_2=-p;\) \(x_1·x_2=q.\) Теорему доведено. \(\color{Brown}{\blacksquare}\)
Цю теорему називають теоремою Вієта на честь видатного французького математика Франсуа Вієта, котрий і відкрив цю властивість. Її можна сформулювати так.
Якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0,\) то
| \(x_1+x_2=-p\) |
| \(x_1·x_2=q\) |
Останні дві рівності, що пов’язують між собою корені та коефіцієнти зведеного квадратного рівняння, називають формулами Вієта.
Приклад:
Один з коренів квадратного рівняння \(x^2+px-24=0\) дорівнює \(4.\) Знайди коефіцієнт \(p\) та другий корінь рівняння.
Розв’язання
Нехай \(x_1=4\) — один з коренів рівняння \(x^2+px-24=0,\) а \( x_2\) — інший корінь цього рівняння.
Тоді за теоремою Вієта:
1) \(x_1·x_2=q\) тобто \(4·x_2=-24,\) звідки \(x_2=-24:4=-6;\)
2) \(p=x_1+x_2=4+\left(-6\right)=4-6=-2.\)
Відповідь: \(p=-2;\) \(x_2=-6.\)
Приклад:
Один з коренів квадратного рівняння \(x^2+3x+q=0\) дорівнює \(5.\) Знайди коефіцієнт \(q\) та другий корінь рівняння.
Розв’язання
Нехай \(x_1=5\) — один з коренів рівняння \(x^2+3x+q=0,\) а \( x_2\) — інший корінь цього рівняння.
Тоді за теоремою Вієта:
1) \(x_1+x_2=-p\) тобто \(5+x_2=-3,\) звідки \(x_2=-3-5=-8;\)
2) \(q=x_1·x_2=5·\left(-8\right)=-40.\)
Відповідь: \(q=-40;\) \(x_2=-8.\)