Використовуючи теорему Вієта, можна записати відповідні формули і для коренів будь-якого незведеного квадратного рівняння \(ax^2+bx+c=0.\)
Оскільки \(a\ne{0},\) то поділимо обидві частини рівняння на \(a.\)
Отримаємо зведене квадратне рівняння: \(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0.\)
Тоді, за теоремою Вієта маємо: \(\quad x_1+x_2=-\dfrac{b}{a};\) \(\quad x_1·x_2=\dfrac{c}{a}.\)
Якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені незведеного квадратного рівняння \(ax^2+bx+c=0,\) то:
| \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) |
| \(x_1·x_2=\dfrac{c}{a}\) |
Приклад:
Не розв’язуючи рівняння \(5x^2-7x-3,\) знайди суму і добуток його коренів.
Розв’язання
Порівняємо значення дискримінанта рівняння з нулем, щоб пересвідчитися, що рівняння має корені: \(D=\left(-7\right)^2-4·5·\left(-3\right)=7^2+4·5·3.\) Очевидно, що \(D>0,\) отже, рівняння має два різні корені \(x_1\) і \(x_2\).
Тоді за теоремою Вієта:
\(x_1+x_2=-\dfrac{-7}{5}=\dfrac{7}{5};\)
\(x_1·x_2=\dfrac{-3}{5}=-\dfrac{3}{5}.\)
Відповідь: \(\; x_1+x_2=\dfrac{7}{5};\) \(\; x_1·x_2=-\dfrac{3}{5}.\)
Приклад:
Нехай \(x_1\) і \(x_2\) — корені рівняння \(3x^2-4x+1=0.\)
Не розв’язуючи рівняння, знайди значення виразу:
1) \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2};\quad\) 2) \(x_1^2 \, x_2+x_2^2 \, x_1;\quad\) 3) \(x_1^2+x_2^2.\)
Розв’язання
За теоремою Вієта: \(\;\; x_1+x_2=\dfrac{4}{3}; \;\; \) \(x_1·x_2=\dfrac{1}{3}.\)
Тоді:
1) \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4}{3}:\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}·3=4;\)
2) \(x_1^2 \, x_2+x_2^2 \, x_1=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\dfrac{1}{3}·\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{9};\)
3) \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-2·\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{9}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{9}-\dfrac{6}{9}=\dfrac{10}{9}=1\dfrac{1}{9}.\)
Відповідь: 1) \(4; \; \) 2) \(\dfrac{4}{9}; \; \) 3) \(1\dfrac{1}{9}.\)