Оскільки у виразі \(\frac{k}{x}\) допустимими значеннями змінної \(x\) є всі числа, окрім \(0\), то областю визначення функції \(y=\frac{k}{x}\) також є всі числа, крім 0.
Побудуємо графік функції \(y=\frac{k}{x}\) окремо для випадків, якщо \(k > 0\) і якщо \(k < 0\).
Приклад:
Побудуй графік функції \(y=\frac{6}{x}\).
Розв’язання
Оскільки ми поки що не знаємо, як виглядє графік функції \(y=\frac{6}{x}\), то складемо таблицю значень цієї функції для кількох значень аргументу.
Для цього надамо незалежній змінній \(x\) декілька конкретних значень та обчислимо за формулою \(y=\frac{6}{x}\) відповідні значення залежної змінної \(y\):
якщо \(x=-6\), то \(y=\frac{6}{-6}=-1\);
якщо \(x=-4\), то \(y=\frac{6}{-4}=\frac{3}{-2}=-1,5\);
якщо \(x=-3\), то \(y=\frac{6}{-3}=-2\);
якщо \(x=-2\), то \(y=\frac{6}{-2}=-3\);
якщо \(x=-1\), то \(y=\frac{6}{-1}=-6\);
якщо \(x=1\), то \(y=\frac{6}{1}=6\);
якщо \(x=2\), то \(y=\frac{6}{2}=3\);
якщо \(x=3\), то \(y=\frac{6}{3}=2\);
якщо \(x=4\), то \(y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5\);
якщо \(x=6\), то \(y=\frac{6}{6}=1\).
Маємо таблицю:
| \(x\) | –6 | –4 | –3 | –2 | –1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
| \(y\) | –1 | –1,5 | –2 | –3 | –6 | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1 |
Позначимо на координатній площині точки, координати \((x; y)\) яких наведено в таблиці:
Чим більше точок, координати яких задовольняють рівняння \(y=\frac{6}{x}\), ми позначимо, тим менше отримана фігура відрізнятиметься від графіка функції \(y=\frac{6}{x}\):
Тому, сполучивши ці точки плавною лінією, отримуємо графік функції \(y=\frac{6}{x}\):
Фігуру, яка є графіком оберненої пропорційності, тобто функції \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\ne{0}\), називають гіперболою.
Гіпербола складається з двох частин — гілок гіперболи.
У випадку функції \(y=\frac{6}{x}\), коли \(k=6\), тобто \(k>0\), одна з гілок гіперболи лежить у першій координатній чверті, а інша — у третій.
Оскільки число \(0\) не належить області визначення функції \(y=\frac{6}{x}\), то на графіку цієї функції не буде точки з абсцисою \(x=0\), а отже гіпербола не буде перетинати вісь ординат. Також гіпербола не буде перетинати й вісь абсцис, тобто немає точки з координатою \(y=0\), оскільки рівняння \(\frac{6}{x}=0\) не має коренів.
Чим більшим за модулем є значення \(x\), то меншим за модулем є значення \(y\), і навпаки, чим меншим за модулем є значення \(x\), то більшим за модулем є значення \(y\). Це означає, що гілки гіперболи необмежено наближаються до осей координат.
Такий самий вигляд має графік функції \(y=\frac{k}{x}\) для будь-якого \(k>0\).
Приклад:
Побудуй графік функції \(y=-\frac{6}{x}\).
Розв’язання
Міркуючи аналогічно, як у попередньому прикладі, побудуємо графік функції \(y=-\frac{6}{x}\):
Це також гіпербола, одна з гілок якої лежить у другій координатній чверті, а інша — у четвертій.
Такий самий вигляд має графік функції \(y=\frac{k}{x}\) для будь-якого \(k<0\).
Слід зауважити, що коли є правильною рівність \(y_0=\frac{k}{x_0}\), то також є правильною рівність \(-y_0=\frac{k}{-x_0}\). Тоді можна зробити такий висновок: якщо точка \(A(x_0;y_0)\) належить гіперболі \(y=\frac{k}{x}\), то точка \(B(-x_0;-y_0)\) також належить цій гіперболі.
Узагальнимо властивості оберненої пропорційності, тобто функції \(y=\frac{k}{x}\).
Властивості оберненої пропорційності, тобто функції \(y=\frac{k}{x}\)
1. Область визначення функції складається з усіх чисел, крім числа нуль.
2. Область значень функції складається з усіх чисел, крім числа нуль.
3. Графік функції — гіпербола, гілки якої лежать у першій і третій координатних чвертях, якщо \(k>0\), та в другій і четвертій, якщо \(k<0\).
4. Функція нулів не має.
5. Якщо точка \(A(x_0;y_0)\) належить гіперболі \(y=\frac{k}{x}\), то точка \(B(-x_0;-y_0)\) також належить цій гіперболі.
6. Гілки гіперболи необмежено наближаються до осей координат, але не перетинають їх.