Скорочення раціональних дробів — урок. Алгебра, 8 клас НУШ.

Раціональним дробом називають відношення двох многочленів $P$ і $Q$ тобто

\frac{P}{Q}

, де $P$ — чисельник, а $Q$ — знаменник раціонального дробу.

Наприклад:

\frac{7 z^{4}}{t}; \frac{a + b}{a - b}; \frac{18 a^{2} + 12 ab - {2 b}^{2}}{2 a^{2}}

Скоротити дріб — це означає поділити одночасно чисельник і знаменник дробу на їхній спільний множник, що не дорівнює нулю.

Зверни увагу!

Спочатку треба розкласти на множники чисельник і знаменник дробу.

Приклад:

Завдання 1. Поділи одночлен

49 c^{3} d^{5}

на одночлен

7 c d^{2}

Розв’язання

Замість запису

49 c^{3} d^{5}

$:$

7 c d^{2}

використовуємо риску дробу:

49 c^{3} d^{5} : 7 c d^{2} = \frac{49 c^{3} d^{5}}{7 c d^{2}}

, оскільки $P:Q$ і

\frac{P}{Q}

— одне й те саме.

\frac{49 c^{3} d^{5}}{7 c d^{2}} = \frac{\overset{7}{49}}{\underset{1}{7}} \cdot \frac{c^{3^{2}}}{c} \cdot \frac{d^{5^{3}}}{d^{2}} = 7 c^{2} d^{3}

Завдання 2. Скороти раціональний дріб

\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x^{2} + 15 x}

Розв’язання

\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x^{2} + 15 x} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x (x + 5)} = \frac{(x + 5) \cdot (x + 5)}{3 x \cdot (x + 5)} = \frac{x + 5}{3 x}

у знаменнику виносимо за дужки спільний множник $3x$;
у чисельнику квадрат двочлена подаємо у вигляді добутку двох рівних двочленів $(x +5)$;
скорочуємо дріб на вираз $(x +5)$.

Завдання 3. Скороти раціональний дріб

\frac{1 - z^{2}}{1 - z^{3}}

Розв’язання

\frac{1 - z^{2}}{1 - z^{3}} = \frac{(1 - z) \cdot (1 + z)}{(1 - z) \cdot (1 + z + z^{2})} = \frac{1 + z}{1 + z + z^{2}}

розкладаємо на множники чисельник дробу, застосовуючи формулу скороченого множення «різниця квадратів»;
розкладаємо на множники знаменник дробу, застосовуючи формулу скороченого множення «різниця кубів»;
скорочуємо дріб на вираз $(1-z)$.

Завдання 4. Скороти раціональний дріб

\frac{a^{3} {bc}^{3} - 2 a^{2} b^{2} c^{2} + {ab}^{3} c}{4 a^{3} c - 4 a^{2} b}

Розв’язання

$\frac{a^{3} {bc}^{3} - 2 a^{2} b^{2} c^{2} + {ab}^{3} c}{4 a^{3} c - 4 a^{2} b} = \frac{a bc (a^{2} c^{2} - 2 abc + b^{2})}{4 a^{2^{1}} (ac - b)} = \frac{bc {(ac - b)}^{2}}{4 a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b) (ac - b)}{4 a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b)}{4 a}$

у чисельнику виносимо спільний множник $abc$ за дужки; вираз у дужках розкладаємо на множники, застосовуючи формулу скороченого множення «квадрат різниці»;
у знаменнику виносимо спільний множник $4a^2$ за дужки;
скорочуємо дріб (ділимо і чисельник, і знаменник) на $a$ і $(ac-b)$ послідовно.

Завдання 5. Обчисли без калькулятора:

\frac{36^{2} - 2 \cdot 36 \cdot 16 + 16^{2}}{36^{2} - 16^{2}}

Розв’язання

\frac{36^{2} - 2 \cdot 36 \cdot 16 + 16^{2}}{36^{2} - 16^{2}} = \frac{{(36 - 16)}^{2}}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{(36 - 16) (36 - 16)}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{\overset{5}{20}}{\underset{13}{52}} = \frac{5}{13}

у чисельнику застосовуємо формулу «квадрат різниці»;
у знаменнику застосовуємо формулу «різниця квадратів»;
скорочуємо дріб на числовий вираз $(36-16)$ і на $4$ послідовно.

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

2. Скорочення раціональних дробів

Теорія: