Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені. Рівносильними вважають і ті рівняння, які коренів не мають, або мають безліч коренів.
Так, наприклад, рівносильними є рівняння \(x + 2 = 5\) і \(4x=12\), оскільки коренем кожного з них є число \(2\).
Однак, рівняння \(x-5=7\) і \(2x=16\) не є рівносильними, оскільки коренем першого з них є число \(12\), а коренем другого — число \(8\).
Також не є рівносильними рівняння \(|x-2|=5\) і \(2x=14\), оскільки перше з них має два кореня — числа \(-3\) і \(7\), а друге — лише один корінь — число \(7\).
Із 7 класу нам відомі властивості, що перетворюють рівняння на рівносильні їм рівняння.
1. Якщо в будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки, то одержимо рівняння, рівносильне заданому.
2. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне заданому.
3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то одержимо рівняння, рівносильне заданому.
Раціональний вираз — це алгебраїчний вираз, складений із чисел та змінної \(x\) за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня з натуральним показником.
Якщо \(r(x)\) — раціональний вираз, то рівняння \(r(x)=0\) називають раціональним рівнянням.
Утім, на практиці зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння». Таким рівнянням вважається рівняння вигляду \(h(x)=q(x)\), де \(h(x)\) і \(q(x)\) — раціональні вирази.
Отже,
Рівняння, ліва і права частини яких є раціональними виразами, називають раціональними рівняннями.
Досі ми могли розв'язувати не будь-яке раціональне рівняння, а лише таке, яке внаслідок різних перетворень і міркувань зводилося до лінійного рівняння.
Тепер наші можливості значно більші. Ми зможемо розв'язати раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійного, а й до квадратного рівняння.
Нагадаємо, як саме ми розв'язували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язування.
Приклад:
Розв'яжи рівняння: .
Розв’язання
Перепишемо рівняння у вигляді .
При цьому, як і зазвичай, ми користуємося тим, що рівності \(A=B\) і \(A-B=0\) — та ж сама залежність між \(A\) і \(B\). Це дозволяє нам перенести доданок у ліву частину рівняння, змінивши при цьому його знак на протилежний.
Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо:
Отже, ми перетворили задане рівняння до вигляду
Пригадаємо, за яких умов дріб дорівнює нулю.
Зверни увагу!
тоді й тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:
1. Чисельник дробу дорівнює нулю: \(а=0\).
2. Знаменник дробу відмінний від нуля: .
Прирівнявши до нуля чисельник дробу, отримаємо:
Залишилося перевірити виконання другої вищезазначеної умови. Співвідношення для заданого рівняння означає, що .
Значення задовольняють ці співвідношення, тому слугують коренями рівняння.
Відповідь: \(2; 0,6\).
Під час розв’язування рівняння серед отриманих його коренів може виявитися число, за якого знаменник дробу перетворюється на нуль. Таке число не може бути коренем рівняння. Його називають стороннім коренем та у відповіді не зазначають.
На підставі розв'язаного прикладу, сформулюємо алгоритм розв’язування раціонального рівняння.
Алгоритм розв'язування раціонального рівняння
2. Перетворити цю частину рівняння до вигляду раціонального дробу .
3. Розв'язати рівняння \(p(x)=0\).
4. Для кожного кореня рівняння \(p(x)=0\) зробити перевірку: чи задовольняє він умову . Якщо задовольняє, то це — корінь заданого рівняння; якщо ні, то це сторонній корінь, тому у відповіді його не записуємо.