3. Дробові раціональні рівняння

Дробове раціональне рівняння — це рівняння, яке містить раціональний дріб, тобто, це рівняння, в якому змінна міститься в знаменнику хоча б одного дробу.
Щоб розв'язати дробове рівняння, потрібно:
  • знайти спільний знаменник дробів, які входять до рівняння;
  • помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник;
  • розв'язати отримане ціле рівняння;
  • виключити корені, які перетворюють спільний знаменник на нуль.
Приклад:
Розв'яжи дробове раціональне рівняння: 3x−1+2=4−xx−1.
 
Розв'язання
  
1. Знаходимо значення змінної, за яких рівняння не має змісту, тобто область допустимих значень (ОДЗ):
 
3x−1+2=4−xx−1.ОДЗ:x−1≠0,тобтоx≠1.
 
2. Знаходимо спільний знаменник дробів і множимо на нього обидві частини рівняння:
 
3x−1+21\⋅x−1=4−xx−1;3+2(x−1)x−1=4−xx−1;|⋅x−13+2(x−1)=4−x.
 
3. Розв'язуємо отримане рівняння:
 
3+2(x−1)=4−x;3+2x−2=4−x;1+2x=4−x;2x+x=4−1;3x=3;x=1.
 
4. Виключаємо ті корені, за яких спільний знаменник дорівнює нулю (які не задовольняють ОДЗ).
У першому пункті ми знайшли ОДЗ (\(x≠1\)), тому число \(1\) не може бути коренем заданого дробового раціонального рівняння.
 
Отже, це рівняння взагалі не має коренів.
 
Відповідь: рівняння коренів не має.
 
 
Під час розв'язування рівнянь можна використовувати й основну властивість пропорції.
Основна властивість пропорції: якщоab=mn,тоa⋅n=b⋅m
Приклад:
Розв’яжи рівняння: 16x−12=19x+18.
Розв’язання
 
16x−12=19x+18;ОДЗ:6x−12≠0,9x+18≠0;x≠2,x≠−2.16x−12=19x+18;1⋅9x+18=1⋅6x−12;9x+18=6x−12;9x−6x=−12−18;3x=−30;x=−10.
 
Корінь рівняння \(x=-10\) задовольняє ОДЗ.
 
Відповідь: \(-10\).
Попередня теорія
Повернутись до теми
Наступне завдання
Copyright © 2026 «МійКлас»