Під час спрощення виразів, що містять степені із цілим показником, ми будемо використовувати вже відомі нам означення і правила.
Нульовий степінь відмінного від нуля числа дорівнює одиниці, тобто \(a^0=1\), де \(a\ne0\).
Перший степінь будь-якого числа дорівнює цьому ж числу, тобто \(a^1=a\).
Якщо \(a\ne0\) і \(n\) — натуральне число, то \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
Якщо \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(n\) — натуральне число, то \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n\).
Із 7 класу нам відомо, що
Підносячи від’ємне число до степеня з парним показником, отримуємо додатне число.
Підносячи від’ємне число до степеня з непарним показником, отримуємо від’ємне число.
Підносячи від’ємне число до степеня з непарним показником, отримуємо від’ємне число.
Розглянемо приклади спрощення виразів зі степенями із цілим показником.
Приклад:
Подай вираз \(ab^{-1}+a^{-1}b\) у вигляді дробу.
Розв’язання
\(ab^{-1}+a^{-1}b=a·\frac{1}{b}+b·\frac{1}{a}=\frac{a}{1}·\frac{1}{b}+\frac{b}{1}·\frac{1}{a}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}.\)
Приклад:
Подай вираз \(a^2b^2(a^{-3}-b^{-3})\) у вигляді дробу.
Розв’язання
\(a^2b^2(a^{-3}-b^{-3})=a^2b^2\left(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{b^3}\right)= a^2b^2\left(\frac{b^3}{a^3b^3}-\frac{a^3}{a^3b^3}\right)=\)
\(=a^2b^2·\frac{b^3-a^3}{a^3b^3}=\frac{a^2b^2}{1}·\frac{b^3-a^3}{a^3b^3}=\frac{a^2b^2(b^3-a^3)}{a^3b^3}=\frac{b^3-a^3}{ab}.\)
Приклад:
Подай вираз \((m^{-2}-n^{-2}):(m+n)\) у вигляді дробу.
Розв’язання
\((m^{-2}-n^{-2}):(m+n)=\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right):(m+n)=\left(\frac{n^2}{m^2n^2}-\frac{m^2}{m^2n^2}\right):(m+n)=\)
\(=\frac{n^2-m^2}{m^2n^2}:(m+n)=\frac{n^2-m^2}{m^2n^2}·\frac{1}{m+n}=\frac{(n-m)(m+n)}{m^2n^2}·\frac{1}{m+n}=\frac{(n-m)(m+n)}{m^2n^2(m+n)}=\frac{n-m}{m^2n^2}.\)