Ми вже знаємо означення степеня із цілим від’ємним показником, за допомогою якого можемо знаходити значення степенів, в основа яких є певним числом.
Якщо \(a\ne0\) і \(n\) — натуральне число, то \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
Приклад:
Обчисли:
1) \(6^{-2}\); 2) \((-8)^0\); 3) \((-4)^{-3}\).
Розв’язання
1) \(6^{-2}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}\);
2) \((-8)^0=1\);
3) \((-4)^{-3}=\frac{1}{(-4)^3}=\frac{1}{-64}=-\frac{1}{64}\).
А як знайти значення такого виразу \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\)?
Щоб дати відповідь на це запитання, розглянемо загальний випадок — піднесемо дріб \(\frac{a}{b}\) до цілого від’ємного степеня. Тобто, якщо \(n\) — натуральне число, \(a\ne0\) і \(b\ne0\), маємо:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{{\left(\frac{a}{b}\right)}^n}=1:{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=1:\frac{a^n}{b^n}=1·\frac{b^n}{a^n}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n\).
Отже,
якщо \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(n\) — натуральне число, то \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n\).
Приклад:
Обчисліть:
1) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\); 2) \(\left(1\frac{2}{3}\right)^{-3}\); 3) \(25·\left(2\frac{1}{2}\right)^{-3}\); 4) \(\left(1,8\right)^{-2}\).
Розв’язання
1) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{5^2}{3^2}=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}\);
2) \(\left(1\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{3^3}{5^3}=\frac{27}{125}\);
3) ураховуючи послідовність виконання арифметичних дій, спочатку піднесемо дріб до степеня, а потім виконаємо множення:
\(25·\left(2\frac{1}{2}\right)^{-3}=25·\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}=25·\left(\frac{2}{5}\right)^3=25·\frac{2^3}{5^3}=25·\frac{8}{125}=\frac{25·8}{125}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}\);
4) запишемо десятковий дріб 1,8 у вигляді мішаного числа, отримане мішане число подамо у вигляді неправильного дробу та виконаємо піднесення до степеня:
\(\left(1,8\right)^{-2}=\left(1\frac{8}{10}\right)^{-2}=\left(1\frac{4}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{9}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{9}\right)^{2}=\left(\frac{5^2}{9^2}\right)=\frac{25}{81}\).