Із 7 класу нам відомо означення степеня з натуральним показником.
Степенем числа \(a\) з натуральним показником \(n (n > 1)\) називають добуток \(n\) множників, кожний із яких дорівнює \(a\):
\begin{matrix}a^n= & \underbrace{ a·a·a·\ldots·a } \\ & n \color{black}{\text{ множників}} \end{matrix}
Під час розв’язування деяких задач практичного змісту з математики та з інших галузей, наприклад, з фізики чи хімії, застосовують степінь числа \(10\).
Так, середня відстань від Землі до Сонця становить приблизно \(149,6 ·10^6\) км.
Тут усе зрозуміло: \(10^6 =10·10·10·10·10·10=1~000~000\), тобто \(149,6 ·10^6=149,6·1~000~000 = 149~600~000\) (км).
Це — приклад з макросвіту, тобто світу дуже великих величин.
А ось приклад з мікросвіту, тобто світу дуже малих величин: маса атома оксигену (кисню) становить
\(2,66 ·10^{-26}\) кг.
Як розуміти зміст запису \(10^{-26}\)?
Щоб дати відповідь на це запитання, розглянемо степені, наприклад, числа \(2\) з натуральними показниками \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(...\) :
\(2^1=2;\quad2^2=4;\quad2^3=8;\quad2^4=16;\quad2^5=32;\quad2^6=64;\quad...\)
Помічаємо, що тут кожне наступне число вдвічі більше за попереднє, відповідно попереднє число вдвічі менше від наступного. Тому можемо продовжити цей ряд у протилежному напрямку, зменшуючи показник степеня на 1, а значення степеня — у 2 рази. Маємо:
\(2^0=2^1:2=2:2=1;\)
\(2^{-1}=2^0:2=1:2=1·\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1};\)
\(2^{-2}=2^{-1}:2=\frac{1}{2}:2=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2};\)
\(2^{-3}=2^{-2}:2=\frac{1}{4}:2=\frac{1}{4}·\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3};\)
\(2^{-4}=2^{-3}:2=\frac{1}{8}:2=\frac{1}{8}·\frac{1}{2}=\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4};\)
\(2^{-5}=2^{-4}:2=\frac{1}{16}:2=\frac{1}{16}·\frac{1}{2}=\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5};\)
\(2^{-6}=2^{-5}:2=\frac{1}{32}:2=\frac{1}{32}·\frac{1}{2}=\frac{1}{64}=\frac{1}{2^6};\)
\(..............................\)
Рівність \(a^0=1\) справедлива для будь-якої основи степеня \(a\), окрім \(a=0\).
Зверни увагу!
Вираз \(0^0\) — не має змісту!
Звідси
Нульовий степінь відмінного від нуля числа дорівнює одиниці, тобто \(a^0=1\), де \(a\ne0\).
Наприклад, \(\quad3^0=1,\quad\left(-19\right)^0=1,\quad\left(-\frac{7}{9}\right)^0=1,\quad\pi^0=1\).
Перший степінь будь-якого числа дорівнює цьому ж числу, тобто \(a^1=a\).
Наприклад, \(\quad7^1=7,\quad\left(-15\right)^1=-15,\quad\left(-\frac{3}{5}\right)^1=-\frac{3}{5},\quad\pi^1=\pi,\quad0^1=0\).
Отдже, маємо означення степеня із цілим від’ємним показником.
Якщо \(a\ne0\) і \(n\) — натуральне число, то \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
Приклад:
Заміни степінь дробом:
1) \(7^{-5}\); 2) \(y^{-1}\); 3) \((x-y)^{-7}\).
Розв’язання
1) \(7^{-5}=\frac{1}{7^5}\);
2) \(y^{-1}=\frac{1}{y^1}=\frac{1}{y}\);
3) \((x-y)^{-7}=\frac{1}{(x-y)^7}\).
Приклад:
Заміни дріб степенем:
1) \(\frac{1}{m^3}\); 2) \(\frac{1}{a+b}\); 3) \(\frac{1}{3^{15}}\).
Розв’язання
1) \(\frac{1}{m^3}=m^{-3}\);
2) \(\frac{1}{a+b}=(a+b)^{-1}\);
3) \(\frac{1}{3^{15}}=3^{-15}\).