2. Доведення тотожностей

Довести тотожність — це означає встановити, що за всіх допустимих значень змінних її ліва і права частини є тотожно рівними виразами.
Тотожності можна доводити різними способами:
 
1. Виконати перетворення лівої частини та звести до правої частини.

2. Виконати перетворення правої частини та звести до лівої частини.

3. Окремо перетворити праву і окремо перетворити ліву частини й отримати той самий вираз у першому та другому випадках.

4. Скласти різницю лівої та правої частин, отримавши в результаті нуль.
Якому способу віддавати перевагу? Це залежить від конкретного виду тотожності.
Приклад:
Довести тотожність: a+b2a−b−a−b2a+b=ba−b−b2−aba2−b2.
 
Розв’язання
 
У поданому прикладі доцільно вибрати третій спосіб.
 
Перетворимо ліву частину:

a+b2a−b\⋅(a+b)−a−b2a+b\⋅(a−b)=a+b2−a−b22a−ba+b=a2+2ab+b2−a2−2ab+b22a−ba+b==a2+2ab+b2−a2+2ab−b22a−ba+b=4ab2a2−b2=4⋅ab2⋅a2−b2=2aba2−b2.
 
Перетворимо праву частину:
 
ba−b−b2−aba2−b2=ba−b\⋅a+b)−b2−aba−ba+b=ba+ba−ba+b−b2−aba−ba+b==ba+b−b2−aba−ba+b=ab+b2−b2+aba−ba+b=2aba2−b2.
 
У першому та другому випадках ми отримали однакові вирази:
 
2aba2−b2=2aba2−b2.
 
Це означає, що тотожність доведена.
 
Під час доведення були застосовані формули скороченого множення:
 
a2−b2=a−ba+ba+b2=a2+2ab+b2a−b2=a2−2ab+b2
Зверни увагу!
Тотожність справедлива лише для допустимих значень змінних.
Попередня теорія
Повернутись до теми
Наступне завдання
Copyright © 2025 «МійКлас»