Розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів

Раціональною нерівністю з однією змінною \(x\) називають нерівність виду \(f(x)<g(x)\), де \(f(x)\) і \(g(x)\) — раціональні вирази, тобто алгебраїчні вирази, складені з чисел, змінної \(x\) і за допомогою математичних дій, тобто операцій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня.

При розв'язанні раціональних нерівностей застосовують правила, які використовуються при розв'язанні лінійних і квадратних нерівностей.

За допомогою рівносильних перетворень раціональну нерівність зводять до вигляду \(h(x)<0\), де \(h(x)\) — алгебраїчний дріб або многочлен і застосовують метод інтервалів.

Приклад:

Розв'язати нерівність.

\frac{x^{2} + 3}{2 x^{2} - 7 x - 4} > 0

Розв'язання.

1. Знайдемо корені квадратного тричлена

2 x^{2} - 7 x - 4

і розкладемо його на множники за формулою

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81 \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0,5 \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \\ 2 x^{2} - 7 x - 4 = 2 (x + 0,5) (x - 4) \\ 2 (x + 0,5) (x - 4) = 0 |: 2 \\ (x + 0,5) (x - 4) = 0 \\ x_{1} = - 0,5 x_{2} = 4 \end{array}

2. Поділимо обидві частини нерівності на додатний при всіх значеннях \(x\)
вираз

x^{2} + 3

, при цьому знак нерівності \(>\) не зміниться.

\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} : (x^{2} + 3) > 0 : (x^{2} + 3) \\ \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x^{2} + 3} > 0 \\ \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1}{(x + 0,5) (x - 4) \cdot (x^{2} + 3)} > 0 \\ \frac{1}{(x + 0,5) (x - 4)} > 0 \end{array}

3.Позначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти по одному значенню і підставити замість \(x\) у тричлен.