Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:
\(1)\) Знайти середину сторони.
\(2)\) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.
![Mediana.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/71869e6c-60cb-4b76-a95d-ba533410ec9a/Mediana.png)
Зверни увагу!
У трикутнику можна побудувати три медіани, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:
- Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
- Медіани трикутника зображені чорним кольором.
- Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
- В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1, починаючи з вершини трикутника.
- Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
- В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.
![Mediana1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/9dc7cfd7-4959-4155-8ced-39329f3365bd/Mediana1.png)
Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.
Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:
\(1)\) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).
\(2)\) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.
\(3)\) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.
![Bisektrise.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/3519c9a2-a329-45a5-b248-c035af7bf8a0/Bisektrise.png)
Зверни увагу!
У трикутника є три бісектриси, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:
- Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
- Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.
- Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
- Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.
- В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
- Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.
![Bisektrise1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/9c20b5ff-fbd8-4aa2-bdb0-b636965a3222/Bisektrise1.png)
Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:
\(1)\) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);
\(2)\) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною ). Це і буде висота.
![Augstums.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/ef55ef80-febf-4116-be25-849b23f29bb6/Augstums.png)
Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти, які перетинаються в одній точці.
![Augstums1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/d26c3000-ff42-4698-bef1-29138d4f57b6/Augstums1.png)
Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.
![Augstums2.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/15554e58-1c3e-4db0-ab71-4e82981a6420/Augstums2.png)
Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.
![Augstums3.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/dc8e3df5-19ec-424e-b63c-80b8601bd2a1/Augstums3.png)
Зверни увагу!
Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.
![Visi.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/9f05d409-b1d8-4b81-8f7c-ccfe05be3810/Visi.png)
Зверни увагу!
Кожний трикутник має три висоти, три медіани й три бісектриси.
Довжини сторін трикутника, протилежних кутам \(А,\) \(В,\) \(С,\) позначають відповідно \(а,\) \(b,\) \(с.\) Довжини висот позначають \(,\) \(,\) \(,\) медіан — \(,\) \(,\) \(,\) бісектрис — \(,\) \(,\) \(.\) Індекс показує, до якої сторони проведено відрізок.
Це означає:
- Проти кута \(А\) лежить сторона \(а.\)
- До сторони \(а\) проведено висоту \(,\) медіану і бісектрису \(.\)