![Sliedes-6.jpg](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/b2762499-c323-44ce-b19b-6f1402053798/Sliedes-6.jpg)
Визначення та доведення ознак паралельності прямих на площині
Дві різні прямі, що лежать на одній площині, мають лише одну спільну точку, або не мають жодної спільної точки.
У першому випадку говорять, що прямі перетинаються, у другому — що прямі не перетинаються.
Дві прямі \(a\) і \(b\) на площині, які не перетинаються, називаються паралельними і позначаються \(.\)
Зверни увагу!
Якщо розглядати прямі, які не лежать на одній площині, то можлива ситуація, що прямі не перетинаються, але й не є паралельними. Такі прямі називаються мимобіжними.
![Cube.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/932458dc-1366-4a6d-9953-40af0ce046bd/Cube-w400.png)
Два відрізки називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.
Аксіома паралельних прямих (аксіома Евкліда)
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.
Ознаки паралельності прямих на площині.
\(1.\) Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.
\(2.\) Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, вони паралельні.
![1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/199489e0-9a37-4215-a1b1-fe9c665fd725/1-w400.png)
Цю ознаку легко довести, якщо згадати, що до прямої на площині з будь-якої точки можна провести лише один перпендикуляр.
Припустимо, що прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, не є паралельними, тобто мають спільну точку.
![Lenku_veidi_perp1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/02720062-a45e-4683-a4a0-728ca4bb7a97/Lenku_veidi_perp1-w400.png)
Виникає суперечність: із однієї точки \(H\) до прямої \(c\) проведено два перпендикуляри. Таке неможливо, тому дві прямі на площині, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними.
Щоб розглянути інші ознаки, потрібно ознайомитися з деякими видами кутів
\(1.\) Пригадаємо, які нам відомі назви та властивості кутів, утворених двома прямими, що перетинаються.
![Lenku_veidi_teor2.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/c2c1b95f-f85c-42ff-a833-00f19b80c92c/Lenku_veidi_teor2-w400.png)
Вертикальні кути рівні:
Сума суміжних кутів складає \(:\)
![3.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/39e40cb0-e84b-4e87-a8a1-d7802df867aa/3-w400.png)
Нехай пряма \(c\) перетинає прямі \(a\) і \(b\) у двох різних точках. У такому разі кажуть, що пряма \(c\) є січною прямих \(a\) і \(b\). У результаті такого перетину двох прямих третьою утворюються пари нерозгорнутих кутів, які мають спеціальні назви:
- внутрішні різносторонні кути лежать між прямими \(a\) і \(b\) по різні боки від січної:
- внутрішні односторонні кути лежать між прямими \(a\) і \(b\) по один бік від січної:
- відповідні кути лежать по один бік від січної, причому сторона одного з них є частиною сторони другого:
Ці кути допоможуть визначити паралельність прямих \(a\) і \(b.\)
Доведемо ще кілька ознак паралельності прямих:
Якщо при перетині двох прямих січною виконується принаймні одна з умов:
\(1)\) внутрішні різносторонні кути рівні;
\(2)\) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180 °;\)
\(3)\) відповідні кути рівні,
то дані прямі паралельні.
\(1)\) внутрішні різносторонні кути рівні;
\(2)\) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180 °;\)
\(3)\) відповідні кути рівні,
то дані прямі паралельні.
![Lenku_veidi_paral1.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/f06423d7-6f51-4130-bcdb-65b33e1823ba/Lenku_veidi_paral1-w400.png)
Доведемо цю ознаку.
Якщо при перетині прямих \(a\) і \(b\) прямою \(c\) внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі \(a\) і \(b\) паралельні.
Наприклад, якщо \(,\) то \(.\)
![Lenku_veidi_paral11.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/9231b50b-d215-42e3-b07e-2ad95ebe33b0/Lenku_veidi_paral11-w300.png)
![Lenku_veidi_paral11_atb.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/02727e75-0a97-4cd5-a8cd-9d5e854c71f7/Lenku_veidi_paral11_atb-w300.png)
\(1.\) Позначимо точки \(C\) і \(D,\) у яких прямі \(a\) і \(b\) перетинає пряма \(c.\) Через середину відрізка \(CD\) точку \(K\) цього відрізка проведемо перпендикуляр \(AB\) до прямої \(a.\)
\(2.\) \(=\) як вертикальні кути, \(=\) \(=\) \(,\) \(CK = KD,\) отже \(=\) за ознакою про сторону та два кути.
\(3.\) Зрозуміло, що якщо прямокутний, то й прямокутний, і \(AB\) перпендикулярний до прямої \(b.\)
\(4.\) Прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними (відповідно до першої доведеної ознаки).
\(5.\) У випадку, коли відповідні кути рівні, маємо на увазі, що вертикальні кути рівні, і доводимо, як у пунктах \(1–4.\)
![Lenku_veidi_paral13.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/f35d9af9-f291-485b-a811-0af12f5573fc/Lenku_veidi_paral13-w300.png)
![Lenku_veidi_paral13_atb.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/b4ca5590-519f-47da-9ede-489adcde2935/Lenku_veidi_paral13_atb-w300.png)
\(6.\) У випадку, коли сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180°,\) маємо на увазі, що сума суміжних кутів також дорівнює \(180°\) і використовуємо в доведенні пункти \(1–4.\)
![Lenku_veidi_paral12.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/d7fafe49-d834-448b-a74d-4f12ea371043/Lenku_veidi_paral12-w300.png)
![Lenku_veidi_paral12_atb.png](https://resources.cdn.miyklas.com.ua/0310f14d-76ed-478c-a62b-c6324a9c0c3d/Lenku_veidi_paral12_atb-w300.png)
Ознака паралельних прямих діє і як властивість паралельних прямих.
При перетині двох паралельних прямих третьою січною:
- внутрішні різносторонні кути рівні;
- відповідні кути рівні;
- сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює \(180°\).