Внесення множника під знак радикала

Розглянемо приклади перетворення ірраціональних виразів, у яких необхідно внести множник під знак радикала.

Формулу

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

можна застосовувати як зліва направо, так і справа наліво.

Щоб внести множник під знак кореня, формулу застосовують у вигляді

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

\(.\)

Приклад:

Порівняй числа

5 \sqrt[3]{2}

2 \sqrt[3]{5}

\(.\)

Розв'язання

Зобразимо числа \(5\) і \(2\) у вигляді коренів \(3\) степеня

5 = \sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125}

2 = \sqrt[3]{2^{3}} = \sqrt[3]{8}

\(.\)

Застосуємо властивість

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

для кожного виразу.

5 \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{250}

2 \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}

Тепер можна порівняти.

\sqrt[3]{250} > \sqrt[3]{40}

\(,\) тобто

5 \sqrt[3]{2} > 2 \sqrt[3]{5}

\(.\)

Приклад:

Спрости вираз:

\sqrt[7]{c^{2} \cdot \sqrt[5]{c}}

Розв'язання

Запишемо

c^{2}

у вигляді кореня \(5\)-го степеня

\sqrt[5]{{(c^{2})}^{5}} = \sqrt[5]{c^{2 \cdot 5}} = \sqrt[5]{c^{10}}

і застосуємо формулу

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

\(.\)

c^{2} \cdot \sqrt[5]{c} = \sqrt[5]{c^{10}} \cdot \sqrt[5]{c} = \sqrt[5]{c^{10} \cdot c} = \sqrt[5]{c^{10 + 1}} = \sqrt[5]{c^{11}}

Тепер повернемося до початкового виразу і скористаємося формулою

\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}

\(.\) Тоді вираз можна записати у вигляді:

\sqrt[7]{c^{2} \cdot \sqrt[5]{c}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^{11}}} = \sqrt[7 \cdot 5]{c^{11}} = \sqrt[35]{c^{11}}

Знайшли помилку?

3. Внесення множника під знак радикала