Властивості числових послідовностей

Числова послідовність - окремий випадок числової функції, тому деякі властивості функцій можна перенести і на послідовності.

Послідовність називається зростаючою, якщо для будь-якого

n \in N

виконується нерівність

a_{n} < a_{n + 1}

Послідовність називається спадною, якщо для будь-якого

n \in N

виконується нерівність

a_{n} > a_{n + 1}

Зростаючі і спадні послідовності називаються монотонними.

Приклад:

1. Послідовність задана формулою

a_{n} = \frac{n}{n + 1}

є монотонною, зростаючою, тому що різниця

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 2)} > 0

Тобто

a_{n} < a_{n + 1}

2. Послідовність із спільним членом

a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n}

не є монотонною, тому що

a_{1} < a_{2}, a_{2} > a_{3}

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число

M \in R

, що

a_{n} \leq M

. При цьому число

M

називається верхньою границею послідовності.

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число

m \in R

, що

a_{n} \geq m

. Число

m

називається нижньою границею послідовності.

Приклад:

1. Послідовність задана формулою

a_{n} = n; (1,2,3, ..., n, ...)

обмежена знизу, але не обмежена зверху.

2. Послідовність задана формулою

a_{n} = {(- 1)}^{n} n; (- 1,2, - 3,4, ..., {(- 1)}^{n} n, ...)

не обмежена ні зверху, ні знизу.

Послідовність називається обмеженою, якщо вона одночасно обмежена і зверху, і знизу.

Знайшли помилку?

3. Властивості числових послідовностей