Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадратним тричленом \(ax^2+bx+c,\) виникає потреба подати його у вигляді \(a\left(x-m\right)^2+n,\) де \(m\) і \(n\) — деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена із квадратного тричлена.
Розглянемо приклади.
Приклад:
Виділи квадрат двочлена із квадратного тричлена \(2x^2+12x-9.\)
Розв’язання
Винесемо за дужки множник \(2\):
\(2x^2+12x-9=2\left(x^2+6x-4,5\right).\)
Використовуючи формулу квадрата суми двох чисел \(a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2,\) перетворимо вираз у дужках. Вважатимемо, що \(x^2=a^2,\) а \(6x=2ab.\) Тоді \(6x=2·x·3,\) звідки визначаємо, що число \(3\) є другим доданком квадрата суми, тобто \(b=3,\) а тому ще додамо і віднімемо \(3^2\):
\(2\left(x^2+6x-4,5\right)=2\left(x^2+2·x·3+\underline{3^2}-\underline{3^2}-4,5\right)=\)
\(=2\left(\left(x+3\right)^2-3^2-4,5\right)=2\left(\left(x+3\right)^2-9-4,5\right)=\)
\(=2\left(\left(x+3\right)^2-13,5\right)=2\left(x+3\right)^2-27.\)
Відповідь: \(2\left(x+3\right)^2-27.\)
Приклад:
Для якого значення \(x\) квадратний тричлен \(-3x^2+24x-18\) набуває найбільшого значення? Знайди це значення.
Розв’язання
Виділимо із заданого тричлена квадрат двочлена:
\(-3x^2+24x-18=-3\left(x^2-8x+6\right)=-3\left(x^2-2·x·4+\underline{4^2}-\underline{4^2}+6\right)=\)
\(=-3\left(\left(x-4\right)^2-4^2+6\right)=-3\left(\left(x-4\right)^2-16+6\right)=-3\left(\left(x-4\right)^2-10\right)=\)
\(=-3\left(x-4\right)^2+30.\)
Вираз \(-3\left(x-4\right)^2\) для будь-якого значення \(x\) набуває недодатних значень, тобто \(-3\left(x-4\right)^2\leqslant{0}.\) Рівність виконується, тобто значення цього виразу дорівнює нулю, лише для \(x=4.\)
Тому для \(x=4\) значення виразу \(-3\left(x-4\right)^2+30\) дорівнює \(30\) і для цього виразу є найбільшим.
Отже, квадратний тричлен \(-3x^2+24x-18\) набуває найбільшого значення, що дорівнює \(30,\) якщо \(x=4.\)
Відповідь: \(30,\) якщо \(x=4.\)