Якщо корені квадратного тричлена відомі, то його можна розкласти на лінійні множники, тобто на множники, які є многочленами першого степеня.
Теорема (про розкладання квадратного тричлена на множники).
Якщо \(x_1\) і \(x_1\) — корені квадратного тричлена \(ax^2+bx+c,\) то справджується рівність
| \(ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\) |
Доведення
Якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені квадратного рівняння \(\; ax^2+bx+c=0, \;\) то за теоремою Вієта \(\; x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, \;\) \(x_1·x_2=\dfrac{c}{a}\).
Для доведення теореми розкриємо дужки у правій частині рівності:
\(a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=a\left(x^2-x_1x-xx_2+x_1x_2\right)=a\left(x^2-x\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2\right)=\)
\(=a\left(x^2-x·\left(-\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{c}{a}\right)=ax^2+bx+c.\)
Отже, \(\; ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right). \;\) Теорему доведено. \(\color{Brown}{\blacksquare}\)
Отже, \(\; ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right). \;\) Теорему доведено. \(\color{Brown}{\blacksquare}\)
Зверни увагу!
Якщо квадратний тричлен не має коренів, то його не можна розкласти на лінійні множники!
Приклад:
Розклади на множники квадратний тричлен \(2x^2-3x-5.\)
Розв’язання
Коренями квадратного тричлена \(2x^2-3x-5\) є числа \(-1\) і \(2,5.\)
Тому \(2x^2-3x-5=2\left(x+1\right)\left(x-2,5\right).\)
Знайдений результат можна записати інакше, помноживши перший множник \(2\) на множник \(\left(x-2,5\right).\)
Отримаємо: \(2x^2-3x-5=\left(x+1\right)\left(2x-5\right).\)
Відповідь: \(2x^2-3x-5=\left(x+1\right)\left(2x-5\right).\)
Приклад:
Розклади на множники квадратний тричлен \(x^2-3x+7.\)
Розв’язання
Квадратний тричлен \(x^2-3x+7\) не має коренів. Тому його на множники розкласти не можна.
Відповідь: розкласти на множники не можна.
Приклад:
Розклади на множники квадратний тричлен \(-5x^2+20x-20.\)
Розв’язання
Квадратний тричлен \(-5x^2+20x-20\) має два однакових корені \(x_1=x_2=2.\)
Тому \(-5x^2+20x-20=-5\left(x-2\right)\left(x-2\right)=-5\left(x-2\right)^2.\)
Відповідь: \(-5x^2+20x-20=-5\left(x-2\right)^2.\)
Приклад:
Скороти дріб \(\dfrac{4x^2+2x-2}{x^2-1}.\)
Розкладемо на множники квадратний тричлен \(4x^2+2x-2.\) Його коренями є числа \(-1\) і \(0,5.\)
Звідси \(4x^2+2x-2=4\left(x+1\right)\left(x-0,5\right).\)
Отже, \(\dfrac{4x^2+2x-2}{x^2-1}=\dfrac{4\left(x+1\right)\left(x-0,5\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{4\left(x-0,5\right)}{x-1}=\dfrac{4x-2}{x-1}.\)
Відповідь: \(\dfrac{4x-2}{x-1}.\)