Розв’язування дробових раціональних рівнянь часто зводиться до розв’язування квадратних рівнянь.
Розглянемо приклади.
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(\dfrac{x^2+3x}{x-3}=\dfrac{x-21}{3-x}.\)
Розв’язання
Домножимо чисельник і знаменник дробу, що стоїть у правій частині рівняння, на \(-1.\) Маємо:
\(\dfrac{x^2+3x}{x-3}=\dfrac{21-x}{x-3}.\)
Знайдемо область допустимих значень змінної \(x\).
ОДЗ: \(x-3\ne{0};\) \(x\ne{3},\) тобто \(x\in{\mathbb{R} \setminus \{3\}}.\)
Домножимо обидві частини рівняння на вираз \(x-3,\) що не дорівнює нулю.
Отримаємо:
\(x^2+3x=21-x;\)
\(x^2+3x+x-21=0;\)
\(x^2+4x-21=0.\)
Рівняння \(x^2+4x-21=0\) має корені \(x_1=3\) та \(x_2=-7.\)
Однак перший корінь не задовольняє ОДЗ, тобто це — сторонній корінь.
Отже, рівняння \(\dfrac{x^2+3x}{x-3}=\dfrac{x-21}{3-x}\) має один корінь \(x=-7.\)
Відповідь: \(-7.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{4}.\)
Розв’язання
Знайдемо область допустимих значень змінної \(x\).
ОДЗ: \(\begin{cases} x+3\ne{0}, \\ x+5\ne{0}; \end{cases}\) \(\begin{cases} x\ne{-3}, \\ x\ne{-5}, \end{cases}\) тобто \(x\in{\mathbb{R} \setminus \{-5;-3\}}.\)
Домножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник дробів — вираз \(4\left(x+3\right)\left(x+5\right),\) що не дорівнює нулю.
Отримаємо:
\(4\left(x+5\right)-4\left(x+3\right)=\left(x+3\right)\left(x+5\right);\)
\(\underline{4x}+\underline{\underline{20}}-\underline{4x}-\underline{\underline{12}}=x^2+8x+15;\)
\(8=x^2+8x+15;\)
\(x^2+8x+7=0.\)
Рівняння \(x^2+8x+7=0\) має корені \(x_1=-7\) та \(x_2=-1.\) Обидва корені задовольняють ОДЗ.
Відповідь: \(-7;-1.\)