Не лише біквадратні, а й деякі інші види рівнянь можна розв’язувати за допомогою заміни змінної.
Розглянемо приклади.
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(\left(x^2-3x\right)\left(x^2-3x+8\right)=20.\)
Розв’язання
Якщо ми розкриємо дужки в лівій частині рівняння, то одержимо рівняння четвертого степеня, яке не завжди можна розв’язати методами шкільної математики.
Тому дужки розкривати не будемо.
Помічаємо, що вирази, які містять \(x\), в обох дужках є однаковими, тому можна скористатися заміною \(x^2-3x=t.\)
Отримаємо рівняння \(t\left(t+8\right)=20,\) що є квадратним відносно змінної \(t.\)
Перепишемо його у вигляді \(t^2+8t-20=0,\) звідки \(t_1=2;\) \(t_2=-10.\)
Повернемося до змінної \(x\).
1) \(t_1=2,\) тоді \(x^2-3x=2,\) тобто \(x^2-3x-2=0,\) звідки \(x_{1,2}=3\pm{\sqrt{17}};\)
2) \(t_2=-10,\) тоді \(x^2-3x=-10,\) тобто \(x^2-3x+10=0,\) але \(D<0,\) тому це рівняння коренів не має.
Отже, \(3+\sqrt{17}\) і \(3-\sqrt{17}\) — корені заданого рівняння.
Відповідь: \(3\pm{\sqrt{17}}.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(x\left(x+3\right)=\dfrac{24}{\left(x-2\right)\left(x+5\right)}.\)
Розв’язання
Знайдемо область допустимих значень змінної \(x.\)
ОДЗ: \(\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ne{0};\) \(\begin{cases} x-2\ne{0},\\ x+5\ne{0}; \end{cases}\) \(\begin{cases} x\ne{2},\\ x\ne{-5}. \end{cases}\)
Отже, \(x\in{\mathbb{R}}\setminus{\{-5;2\}}.\)
Розкриємо дужки в кожній частині рівняння, одержимо:
\(x^2+3x=\dfrac{24}{x^2+3x-10}.\)
Помічаємо, що вирази, які містять змінну \(x,\) в обох частинах рівняння є однаковими, тому виконаємо заміну \(x^2+3x=t.\)
Отримаємо рівняння: \(t=\dfrac{24}{t-10},\) перетворивши яке одержимо квадратне рівняння \(t^2-10t-24=0\) відносно змінної \(t.\)
Розв’язавши останнє рівняння, матимемо корені \(t_1=-2;\) \(t_2=12.\)
Повернемося до змінної \(x.\)
1) \(t_1=-2,\) тоді \(x^2+3x=-2,\) тобто \(x^2+3x+2=0,\) звідки \(x_1=-1;\) \(x_2=-2;\)
2) \(t_2=12,\) тоді \(x^2+3x=12,\) тобто \(x^2+3x-12=0,\) звідки \(x_{3,4}=\dfrac{-3\pm{\sqrt{57}}}{2}.\)
Усі знайдені корені задовольняють ОДЗ.
Отже, задане рівняння має чотири корені: \(-2;\) \(-1;\) \(\dfrac{-3+\sqrt{57}}{2}\) і \(\dfrac{-3-\sqrt{57}}{2}.\)
Відповідь: \(-2;\) \(-1;\) \(\dfrac{-3\pm{\sqrt{57}}}{2}.\)